6. Ache o ponto de interseção da reta r, que passa pelos pontos A = (1, 1, 1) e B = (1, 2, 3), com o plano α que tem −→n = (2, 1, 3) como vetor n...

Para encontrar o ponto de intersecção entre a reta r e o plano α, precisamos encontrar as coordenadas do ponto em que a reta cruza o plano. Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta r. Para isso, podemos usar a fórmula da equação paramétrica da reta: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é um vetor diretor da reta. Podemos encontrar o vetor diretor da reta AB fazendo a diferença entre os pontos A e B: AB = B - A = (1, 2, 3) - (1, 1, 1) = (0, 1, 2) Então, podemos escrever a equação paramétrica da reta r: x = 1 + 0t = 1 y = 1 + t z = 1 + 2t Agora, precisamos encontrar o ponto em que a reta r cruza o plano α. Para isso, podemos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano: 2x + y + 3z = d Onde d é uma constante que podemos encontrar substituindo as coordenadas do ponto C na equação do plano: 2(0) + 0 + 3(0) = d d = 0 Então, a equação do plano α é: 2x + y + 3z = 0 Agora, podemos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano e resolver para t: 2(1) + (1 + t) + 3(1 + 2t) = 0 2 + 1 + t + 3 + 6t = 0 7t = -6 t = -6/7 Agora que temos o valor de t, podemos substituí-lo nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção: x = 1 y = 1 - 6/7 = 1/7 z = 1 + 2(-6/7) = -7/7 = -1 Portanto, o ponto de intersecção entre a reta r e o plano α é P = (1, 1/7, -1).