9. Mostre que a reta r = {(4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1); t ∈ R} é tangente à esfera S = (x− 1)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 3 e encontre o ponto de tangência...

Para mostrar que a reta r é tangente à esfera S, precisamos encontrar o ponto de tangência entre elas. Para isso, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação vetorial da reta r: r = (4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1). 2. Substituir as coordenadas da reta na equação da esfera S: (4t+ 4 - 1)² + (3t+ 1 + 3)² + (t+ 1 + 1)² = 3. 3. Simplificar a equação e encontrar o valor de t: 26t² + 56t - 23 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos t = (-14 ± √170)/13. 4. Substituir o valor de t na equação da reta para encontrar o ponto de tangência: P = (4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1) ≈ (-0,38, -4,31, -0,08). Portanto, o ponto de tangência entre a reta r e a esfera S é aproximadamente P = (-0,38, -4,31, -0,08).