Considere a reta do plano r : { x = 2t y = −2t + 1 , t ∈ R e o ponto P = (1, 3) para responder as questões 1, 2 e 3:
Questão 1 [1,5 ponto]: Deter...

Question

Considere a reta do plano r : { x = 2t y = −2t + 1 , t ∈ R e o ponto P = (1, 3) para responder as questões 1, 2 e 3:
Questão 1 [1,5 ponto]: Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r.
Questão 2 [1,0 ponto]: Seja m a reta de equação cartesiana −3x + y = 1. Determine se r e m são paralelas, coincidentes ou concorrentes.
Questão 3 [1,0 ponto]: Determine a projeção ortogonal w⃗ do vetor −→AB onde A = (1, 1) e B = (2, 3), sobre a reta r.
(1) O vetor (2, −2) é paralelo à reta r. Logo, (2, −2) é perpendicular à reta s. Sendo assim, s tem a seguinte forma: 2x − 2y = k, para algum k real. Como P ∈ r, então podemos encontrar o valor de k substituindo as coordenadas de P na equação encontrada anteriormente: 2(1) − 2(3) = k ⇐⇒ k = −4. Assim, a equação cartesiana de s é 2x − 2y = −4, ou equivalentemente, x − y = −2. Por outro lado, se (2, −2) é perpendicular à reta s, então (2, 2) é paralelo à reta s. Logo, s : { x = 2t + 1 y = 2t + 3 , t ∈ R é uma parametrização de s.
(2) O vetor (−3, 1) é perpendicular à reta m, então (1, 3) é paralelo à reta m. Já sabemos que (2, −2) é paralelo à reta r. Os vetores (−3, 1) e (2, −2) não são múltiplos, pois não existe um número real k tal que (−3, 1) = k(2, −2). Logo, as retas r e m não podem ser paralelas nem coincidentes. Portanto, as retas r e m são concorrentes.
(3) Se −→AB = (1, 2) então w⃗ = Projr −→AB = < (1, 2), (2, −2) > ||(2, −2)||2 (2, −2) = (−1/2, 1/2).

Ed · Answer

Questão 1: 
Para encontrar a reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular a reta r, precisamos encontrar um vetor diretor da reta s que seja perpendicular ao vetor diretor da reta r. O vetor diretor da reta r é dado por (2, -2), então um vetor diretor da reta s pode ser dado por (-2, -2) ou (2, -2) (já que ambos são perpendiculares a (2, -2)). Assim, podemos escrever a equação vetorial da reta s como: 
s: P + t(-2, -2) = (1, 3) + t(-2, -2) = (-2t + 1, -2t + 3)
Para encontrar a equação cartesiana da reta s, basta isolar t em uma das equações paramétricas e substituir na outra. Por exemplo, isolando t em -2t + 1 = x, temos t = (1 - x)/2. Substituindo em -2t + 3 = y, temos y = -x/2 + 2. Portanto, a equação cartesiana da reta s é y = -x/2 + 2.

Questão 2:
A reta m tem equação cartesiana -3x + y = 1. Podemos reescrevê-la como y = 3x + 1. Como o coeficiente angular de r é -1, sabemos que as retas r e m são perpendiculares se o coeficiente angular de m for 1. Como o coeficiente angular de m é 3, as retas r e m não são perpendiculares. Podemos encontrar o ponto de interseção das retas r e m resolvendo o sistema formado pelas equações paramétricas de r e pela equação cartesiana de m. Substituindo x = 2t em -3x + y = 1, temos y = 6t + 1. Igualando as equações de y, temos -2t + 1 = 6t + 1, o que implica em t = 0. Substituindo t = 0 em x = 2t, temos x = 0. Portanto, o ponto de interseção das retas r e m é (0, 1). Como as retas r e m não são perpendiculares, elas se intersectam em um único ponto.

Questão 3:
Para encontrar a projeção ortogonal de AB sobre r, precisamos encontrar o vetor projetado de AB sobre o vetor diretor de r. O vetor diretor de r é (2, -2), então o vetor projetado de AB sobre r é dado por: 
projr AB = ((AB . u) / ||u||^2) * u, onde u é o vetor diretor de r e . denota o produto escalar. 
Temos que u = (2, -2) e AB = (1, 2). Então, temos: 
projr AB = ((1, 2) . (2, -2)) / (2^2 + (-2)^2) * (2, -2) = (0, 0.5)
Portanto, a projeção ortogonal de AB sobre r é o vetor (0, 0.5).

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