Mostre que se A é invert́ıvel, então adj(A) é invert́ıvel e (adj(A))−1 = adj(A−1). Demonstre que se A é invertível, então adj(A) é invertível e ...

Para demonstrar que se A é invertível, então adj(A) é invertível e (adj(A))−1 = adj(A−1), podemos utilizar a definição de matriz adjunta e a propriedade de que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Se A é invertível, então det(A) ≠ 0. A matriz adjunta de A é definida como a matriz transposta dos cofatores de A, ou seja, adj(A) = (Cof(A))ᵀ. Onde Cof(A) é a matriz dos cofatores de A. Podemos mostrar que adj(A) é invertível da seguinte forma: det(adj(A)) = det((Cof(A))ᵀ) = det(Cof(A)) O determinante de Cof(A) é dado por: det(Cof(A)) = det(A)^(n-1) Onde n é a ordem da matriz A. Como A é invertível, det(A) ≠ 0, então det(Cof(A)) ≠ 0 e, portanto, Cof(A) é invertível. Agora, vamos mostrar que (adj(A))⁻¹ = adj(A⁻¹): (adj(A))⁻¹(adj(A)) = I Multiplicando a equação acima por A, temos: A(adj(A))⁻¹(adj(A)) = A Usando a definição de matriz adjunta, temos: A(Cof(A))ᵀ(adj(A))⁻¹ = A Multiplicando ambos os lados por A⁻¹, temos: (Cof(A))ᵀ(adj(A))⁻¹ = A⁻¹ Transpondo ambos os lados, temos: (adj(A))⁻¹(Cof(A)) = (A⁻¹)ᵀ Usando a definição de matriz adjunta novamente, temos: (adj(A))⁻¹adj(A) = (A⁻¹)ᵀdet(A) Como det(A) ≠ 0, temos: (adj(A))⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ/det(A) Substituindo a expressão de A⁻¹, temos: (adj(A))⁻¹ = adj(A⁻¹) Portanto, se A é invertível, então adj(A) é invertível e (adj(A))⁻¹ = adj(A⁻¹).