Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n . Prove que (a) se A é invertível, então a sua inversa é única; (b) se A e B são ambas invertíveis, ...

(a) Se A é invertível, então existe uma matriz B tal que AB = BA = In, onde In é a matriz identidade de ordem n. Suponha que exista outra matriz C tal que AC = CA = In. Então, multiplicando ambos os lados por B, temos ABC = B e CAB = B. Mas, como AB = BA = In, temos que C = In. Portanto, a inversa de A é única. (b) Se A e B são ambas invertíveis, então existe uma matriz C tal que AC = CA = In e BD = DB = In. Então, multiplicando ambos os lados da equação AB(CD) = In por C−1 à esquerda e D−1 à direita, temos que (C−1AD−1)(BD) = In. Mas, como A−1B−1 = (AB)−1, temos que (C−1AD−1)(A−1B−1) = In. Portanto, (AB)−1 = B−1A−1 e AB é invertível. (c) Se A é invertível e a sua inversa é A−1, então temos que A−1A = AA−1 = In. Então, multiplicando ambos os lados da equação A−1Ak−1 = Ik por A−1 à esquerda e A à direita, temos que A−1Ak−1A = A. Mas, como A−1A = AA−1 = In, temos que A−1Ak−1A = A−1A = In. Portanto, (Ak)−1 = (A−1)k. (d) Se A é invertível e AC = 0n × p, então multiplicando ambos os lados da equação por A−1 à esquerda, temos que C = 0n × p. (e) Se A é invertível e DA = 0m × n, então multiplicando ambos os lados da equação por A−1 à direita, temos que D = 0m × n. (f) Se A é invertível e AC = AD, então multiplicando ambos os lados da equação por A−1 à direita, temos que C = D. (g) Se A é invertível e EA = FA, então multiplicando ambos os lados da equação por A−1 à direita, temos que E = F. (h) Se A é invertível e α é um número não nulo, então (1/α)A−1 é a inversa de αA, pois (1/α)A−1(αA) = In. Portanto, αA é invertível e (αA)−1 = (1/α)A−1.