Exercício 6.1. Mostre por indução que para todo n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2; 12 + 22 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6: Exercício 6.2. Considere ...

Para o exercício 6.1, podemos mostrar por indução que as fórmulas são verdadeiras para todo n ≥ 1. Para isso, primeiro verificamos que a fórmula é verdadeira para n = 1. Em seguida, assumimos que a fórmula é verdadeira para n = k e mostramos que ela também é verdadeira para n = k + 1. Com isso, podemos concluir que a fórmula é verdadeira para todo n ≥ 1. Para o exercício 6.2, podemos usar a definição de integral para mostrar que a área R é igual a 2/3. Para isso, dividimos a área em n retângulos de largura 1/n e altura f(i/n), onde f(x) = 1 - x^2. Em seguida, somamos as áreas dos retângulos e tomamos o limite quando n tende ao infinito. O resultado é 2/3. Para o exercício 6.3, podemos usar a mesma técnica do exercício anterior para mostrar que a área Rn é igual a (e - 1)/n. Em seguida, podemos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica para mostrar que 1 + r + r^2 + ... + rn = (1 - r^(n+1))/(1 - r), onde r = e^(1/n) - 1. Tomando o limite quando n tende ao infinito, obtemos que a área R é igual a 1 e, portanto, limn→∞ área(Rn) = 1.