Exercício 6.42. (3a Prova 2010, Turmas N) Calcule R x x2+4x+13 dx.

Para resolver essa integral, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Fazemos a substituição x + 2 = 3tan(t), o que implica em dx = 3sec²(t)dt e x² + 4x + 13 = 9tan²(t) + 9. Substituindo na integral, temos: R x dx / (x² + 4x + 13) = R 3tan(t) * 3sec²(t)dt / (9tan²(t) + 9) = R tan(t)sec²(t)dt / (tan²(t) + 1) = R sin(t)/cos³(t)dt Fazendo a substituição u = cos(t), temos du = -sin(t)dt e a integral se torna: R -du/u³ = 1/2u² + C = 1/2cos²(t) + C = 1/2(1 + cos(2t)) + C Substituindo de volta, temos: R x dx / (x² + 4x + 13) = 1/2(1 + cos(2arctan((x+2)/3))) + C Portanto, essa é a resposta para a integral dada.