Determine o valor de m e n para que os três planos π1 : 2x + 3y − 5z + 7 = 0, π2 : 4x − 2y + z − 5 = 0 e π3 : mx − 8y + 11z + n = 0 se intersectem,...

Para que os três planos se intersectem dois a dois segundo retas paralelas entre si, é necessário que eles não sejam paralelos entre si. Isso significa que o vetor normal de cada plano não pode ser múltiplo escalar do vetor normal de outro plano. Podemos encontrar o vetor normal de cada plano observando os coeficientes das variáveis x, y e z. Assim, temos: π1: (2, 3, -5) π2: (4, -2, 1) π3: (m, -8, 11) Para que π1 e π2 sejam paralelos, seus vetores normais devem ser múltiplos escalares um do outro. Podemos verificar isso calculando o determinante da matriz formada pelos vetores normais: | 2 3 -5 | | 4 -2 1 | = (2)(-2)(11) + (3)(1)(4) + (-5)(4)(-8) - (7)(-2)(-5) - (5)(1)(2) - (3)(4)(-8) = 0 | m -8 11 | Como o determinante é igual a zero, os vetores normais não são linearmente independentes e, portanto, π1 e π2 são paralelos. Isso significa que π3 deve ter um vetor normal diferente dos vetores normais de π1 e π2. Para que π1 e π3 sejam paralelos, seus vetores normais devem ser múltiplos escalares um do outro. Isso significa que o vetor normal de π3 deve ser proporcional ao vetor normal de π1. Assim, temos: (2, 3, -5) = k(m, -8, 11) Igualando as coordenadas correspondentes, obtemos o sistema de equações: 2 = km 3 = -8k -5 = 11k Resolvendo esse sistema, encontramos k = -3/11 e m = -22/3. Para que π2 e π3 sejam paralelos, seus vetores normais devem ser múltiplos escalares um do outro. Isso significa que o vetor normal de π3 deve ser proporcional ao vetor normal de π2. Assim, temos: (m, -8, 11) = k(4, -2, 1) Igualando as coordenadas correspondentes, obtemos o sistema de equações: m = 4k -8 = -2k 11 = k Resolvendo esse sistema, encontramos k = -11 e m = -44. Portanto, os valores de m e n que satisfazem as condições do problema são m = -22/3 e n = 77/3.