Demonstre usando o princípio da indução finita que: ( )n n 1 P(n) :1 2 3 4 n , n N * 2 + + + + + = Î ( )( )2 2 2 2 2 n n 1 2n 1 P(n) :1 2 3 4 n , ...

Para demonstrar que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n², usaremos o princípio da indução finita. Passo base: Para n = 1, temos que 1² = 1, que é igual à soma dos n primeiros números ímpares (1). Passo de indução: Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k, ou seja, que a soma dos k primeiros números ímpares é igual a k². Vamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para n = k + 1. Temos que: (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) Pela hipótese de indução, sabemos que a soma dos k primeiros números ímpares é igual a k². Portanto: (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) = k² Substituindo na equação acima, temos: (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)) = k² + (2k + 1) Simplificando, temos: (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)) = (k + 1)² Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k + 1. Assim, concluímos que a fórmula é verdadeira para todo n pertencente aos números naturais. Para demonstrar que a soma dos n primeiros números pares é igual a n(n+1), usaremos o princípio da indução finita. Passo base: Para n = 1, temos que 1(1+1) = 2, que é igual à soma dos n primeiros números pares (2). Passo de indução: Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k, ou seja, que a soma dos k primeiros números pares é igual a k(k+1). Vamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para n = k + 1. Temos que: (2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2) = (2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2 Pela hipótese de indução, sabemos que a soma dos k primeiros números pares é igual a k(k+1). Portanto: (2 + 4 + 6 + ... + 2k) = k(k+1) Substituindo na equação acima, temos: (2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2) = k(k+1) + 2 Simplificando, temos: (2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2) = (k + 1)(k + 2) Portanto, a fórmula é verdadeira para n = k + 1. Assim, concluímos que a fórmula é verdadeira para todo n pertencente aos números naturais.