5. TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO Na Álgebra Elementar, usamos muito os recursos para transformar um polinômio em produtos de binômios. Esse processo é c...

5. TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
Na Álgebra Elementar, usamos muito os recursos para transformar um polinômio em produtos de binômios. Esse processo é chamado de fatoração. Na trigonometria, muitas vezes aplicamos esse recurso para realizar determinadas transformações do tipo ( ) ( )2 2sen x cos x senx cosx senx cosx- = - × + . Essas transformações muitas vezes são fundamentais para resolvermos equações e inequações. Além disso, são de grande importância para resolvermos integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Esse assunto será estudado nas disciplinas de cálculo diferencial e integral.
Para transformamos adição e subtração de funções trigonométricas em produtos, usaremos as relações já determinada anteriormente:
( )cos a b cosa cosb sena senb+ = × - × (1)
( )cos a b cosa cosb sena senb- = × + × (2)
( )sen a b sena cosb senb cosa+ = × + × (3)
( )sen a b sena cosb senb cosa- = × - × (4)
Se realizarmos as operações de adição e subtração com as equações acima, temos:
( ) ( )1 2 :+ ( ) ( )cos a b cos a b 2cosa cosb+ + - = ×
( ) ( )1 2 :- ( ) ( )cos a b cos a b 2sena senb+ - - =- ×
( ) ( )3 4 :+ ( ) ( )sen a b sen a b 2sena cosb+ + - = ×
( ) ( )3 4 :- ( ) ( )sen a b sen a b 2senb cosa+ - - = ×
Fazendo, nas equações acima, as seguintes substituições a b p a b q ì + =ïïíï - =ïî, chegamos a p q a 2 + = e p q b 2 - = , e obtemos assim as fórmulas de transformação de adição e subtração em produto:
p q p q
cosp cosq 2cos cos
2 2
æ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç+ = ×÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

p q p q
cosp cosq 2sen sen
2 2
æ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç- =- ×÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

p q p q
senp senq 2sen cos
2 2
æ ö æ ö+ -÷ ÷ç ç+ = ×÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

p q p q
senp senq 2sen cos
2 2
æ ö æ ö- +÷ ÷ç ç- = ×÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Explicar o processo de transformação de polinômios em produtos de binômios;
Aplicar o processo de transformação em produtos de binômios na trigonometria;
Utilizar as relações de adição e subtração de funções trigonométricas para obter as fórmulas de transformação em produto;
Realizar as substituições necessárias para obter as fórmulas de transformação em produto;
Aplicar as fórmulas de transformação em produto para resolver equações e inequações;
Aplicar as fórmulas de transformação em produto para resolver integrais que envolvem potências de funções trigonométricas.