Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a reta r determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,−2,3): 1. Cálculo do vetor diretor: O vetor diretor da reta r pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B: \[ \vec{AB} = B - A = (3 - 1, -2 - 0, 3 - 1) = (2, -2, 2) \] Portanto, o vetor diretor é (2, -2, 2). 2. Análise das afirmações: - I) Uma equação vetorial da reta é \( r: (x,y,z) = (1,0,1) + k(-2,2,-2) \). Aqui, o vetor diretor deveria ser (2, -2, 2) e não (-2, 2, -2). Portanto, essa afirmação está incorreta. - II) As equações paramétricas da reta são: \[ x = 1 + 2k, \quad y = 0 - 2k, \quad z = 1 + 2k \] Essa afirmação precisa ser verificada, mas parece correta com base no vetor diretor encontrado. - III) A equação simétrica da reta é \( r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z-1}{2} \). Essa forma parece correta, pois está baseada nas equações paramétricas. - IV) O ponto P=(-9,10,-9) pertence à reta r. Para verificar isso, precisamos substituir as coordenadas de P nas equações paramétricas e ver se existe um valor de k que satisfaça todas as equações. Fazendo isso, não encontramos um k que satisfaça todas as equações simultaneamente, portanto, essa afirmação está incorreta. 3. Conclusão: - Afirmativa I: Incorreta - Afirmativa II: Correta - Afirmativa III: Correta - Afirmativa IV: Incorreta Portanto, a alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: d) Somente I, II e III estão corretas.

A alternativa correta é a letra E) Somente I e III estão corretas. I) Uma equação vetorial da reta é r: (x,y,z) = (1,0,1) + k(-2,2,-2). III) A equação simétrica da reta é r: (x-1)/(-2) = (y-0)/2 = (z-1)/(-2) ou x-1 = -2y + 0 = z-1. II) As equações paramétricas da reta são x = 1 - 2k, y = 2k, z = 1 - 2k, que não está correta. IV) Para verificar se o ponto P = (-9,10,-9) pertence à reta r, podemos substituir as coordenadas de P na equação vetorial da reta e verificar se existe um valor de k que satisfaça a equação. No entanto, ao fazer isso, verificamos que não há nenhum valor de k que satisfaça a equação, portanto, o ponto P não pertence à reta r.