Para encontrar a equação simétrica da reta determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,−2,3), precisamos primeiro determinar o vetor diretor da reta. O vetor diretor \( \vec{AB} \) pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B: \[ \vec{AB} = B - A = (3 - 1, -2 - 0, 3 - 1) = (2, -2, 2) \] Agora, a equação simétrica da reta pode ser escrita na forma: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] onde \( (x_0, y_0, z_0) \) é um ponto na reta (podemos usar A) e \( (a, b, c) \) são as componentes do vetor diretor. Substituindo os valores: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 1) \) - \( (a, b, c) = (2, -2, 2) \) A equação simétrica fica: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{-2} = \frac{z - 1}{2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( r: \frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{-2} \) (não está correta) b. \( r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2} \) (não está correta) c. \( r: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2} \) (não está correta) d. \( r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 1}{2} \) (está correta) e. \( r: \frac{x + 2}{-1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{-1} \) (não está correta) Portanto, a alternativa correta é a d: \( r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 1}{2} \).