Calcule a distância entre as retas r:x=y−32=z−2 e s:x−3=y+12=z−23 . a. 56–√ b. 5√6√ c. 30√6 d. 630√5 e. 25–√

Para calcular a distância entre duas retas, precisamos encontrar a distância entre dois pontos, um em cada reta, que sejam perpendiculares entre si. Para isso, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos e a projeção vetorial. Primeiro, vamos encontrar um ponto na reta r. Podemos escolher, por exemplo, o ponto P(0, 3, 2), que é o ponto em que a reta r intercepta o plano xy. Agora, vamos encontrar um vetor diretor da reta r. Podemos escolher o vetor v = (1, 1, 0), que é paralelo à reta r. Em seguida, vamos encontrar um ponto na reta s. Podemos escolher, por exemplo, o ponto Q(3, -1, 2), que é o ponto em que a reta s intercepta o plano xy. Agora, vamos encontrar um vetor diretor da reta s. Podemos escolher o vetor u = (1, 1, 1), que é paralelo à reta s. Agora, vamos encontrar a projeção do vetor PQ (que é o vetor que liga os pontos P e Q) sobre o vetor v. Para isso, vamos utilizar a fórmula da projeção vetorial: projv(PQ) = ((PQ . v) / ||v||^2) * v Onde PQ . v é o produto escalar entre os vetores PQ e v, e ||v||^2 é o quadrado da norma do vetor v. Temos que PQ = Q - P = (3, -1, 2) - (0, 3, 2) = (3, -4, 0). Então: PQ . v = (3, -4, 0) . (1, 1, 0) = 3 - 4 + 0 = -1 ||v||^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 Logo: projv(PQ) = ((-1) / 2) * (1, 1, 0) = (-1/2, -1/2, 0) Agora, vamos encontrar o ponto R na reta r que é perpendicular a Q. Para isso, vamos somar o ponto P com a projeção de PQ sobre v: R = P + projv(PQ) = (0, 3, 2) + (-1/2, -1/2, 0) = (-1/2, 5/2, 2) A distância entre as retas r e s é a distância entre os pontos Q e R. Podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos: d = ||QR|| = sqrt((xQ - xR)^2 + (yQ - yR)^2 + (zQ - zR)^2) Temos que Q = (3, -1, 2) e R = (-1/2, 5/2, 2). Então: d = sqrt((3 + 1/2)^2 + (-1 - 5/2)^2 + (2 - 2)^2) = sqrt(25/4 + 49/4 + 0) = sqrt(74)/2 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 5√74/2.