Considere a função f left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x plus square root of x to the power of 5 end root. Determine a integral de...

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar a primitiva da função f(x) e, em seguida, calcular a integral definida entre 1 e e. Para encontrar a primitiva, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Fazendo a substituição x^(1/5) = sen(t), temos: dx = 5cos(t)^(4)dt x = (sen(t))^(5) Substituindo na função f(x), temos: f(x) = 1/(sen(t)^(5) + cos(t)) Multiplicando o numerador e o denominador por cos(t)^(5), temos: f(x) = cos(t)^(5)/(sen(t)^(5)cos(t)^(5) + cos(t)^(6)) Fazendo a substituição u = sen(t)/cos(t), temos: du/dt = 1/cos(t) cos(t)dt = du/u Substituindo na função f(x), temos: f(x) = (cos(t)^(5))/(cos(t)^(5)u^(5) + cos(t)^(6)) f(x) = (1/u^(5) + u)/(1 + u^(2)) Agora podemos calcular a primitiva da função f(x): integral de f(x) dx = integral de [(1/u^(5) + u)/(1 + u^(2))] du integral de f(x) dx = integral de (1/u^(5) + u)/(1 + u^(2)) du integral de f(x) dx = (-1/4u^(4) + 1/2ln(1 + u^(2))) + C Substituindo u = sen(t)/cos(t) e x = cos(t)^(5), temos: integral de f(x) dx = (-1/4(x^(4/5) - 1) + 1/2ln(1 + x^(2/5))) + C Agora podemos calcular a integral definida entre 1 e e: integral de f(x) dx entre 1 e e = [(-1/4(e^(4/5) - 1) + 1/2ln(1 + e^(2/5))) - (-1/4(1^(4/5) - 1) + 1/2ln(1 + 1^(2/5)))] integral de f(x) dx entre 1 e e = (-1/4(e^(4/5) - 1) + 1/2ln(1 + e^(2/5))) + 1/4 integral de f(x) dx entre 1 e e = (-1/4(e^(4/5) - 1) + 1/2ln(1 + e^(2/5))) + 1/4 Portanto, a alternativa correta é a letra A: integral subscript 1 superscript e   f left parenthesis x right parenthesis d x equals fraction numerator 5 plus 2 square root of e to the power of 7 end root over denominator 7 end fraction.