Encontre os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo; Analisando o sinal da segunda derivada encontra-se a concavidade da função. Para ...

Para encontrar os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, é necessário analisar o sinal da segunda derivada da função. Se a segunda derivada for negativa, a função é côncava para baixo. Utilizando a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar a função, encontramos que a segunda derivada é dada por: f''(x) = (12x^2 - 24x - 48) / (x^2 - 4x + 5)^3 Para encontrar os intervalos abertos em que f é côncava para baixo, precisamos resolver a desigualdade f''(x) < 0. Observando o denominador da segunda derivada, podemos notar que ele é sempre positivo, pois a equação x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 nunca é igual a zero. Portanto, podemos simplificar a desigualdade para: 12x^2 - 24x - 48 < 0 Dividindo ambos os lados por 12 e simplificando, obtemos: x^2 - 2x - 4 < 0 Resolvendo a desigualdade, encontramos que x deve satisfazer: 2 - 2√3 < x < 2 + 2√3 Portanto, os intervalos abertos em que f é côncava para baixo são: (2 - 2√3, 2 + 2√3)