(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estej...

(a) Para provar que tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)), usaremos as fórmulas para cos(x+y) e sen(x+y): tg(x-y) = sen(x-y) / cos(x-y) = (sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)) / (cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)) = [(sen(x) / cos(x)) - (sen(y) / cos(y))] / [1 + (sen(x) / cos(x)) * (sen(y) / cos(y))] = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)) (b) Para resolver o problema, vamos usar a fórmula tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)). Seja θ o ângulo formado entre a linha de fundo do campo e a reta que liga o jogador a um dos postes da meta. Temos que tg(θ) = x / a e tg(90-θ) = x / b. Usando a fórmula acima, temos: tg(θ - (90-θ)) = tg(2θ - 90) = (tg(θ) - tg(90-θ)) / (1 + tg(θ) * tg(90-θ)) = (x/a - x/b) / (1 + (x/a) * (x/b)) = (bx - ax) / (ab + x^2) Para encontrar o valor máximo de tg(2θ - 90), derivamos em relação a x e igualamos a zero: d/dx [(bx - ax) / (ab + x^2)] = (a^2 - b^2) / (ab + x^2)^2 = 0 Logo, a^2 = b^2 e x = √ab. Portanto, o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.