A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por Sn = 2n^2 - 15n. (a) Determine o décimo termo da progressão. (b) Encontre o p...

Para resolver esse problema, precisamos usar as fórmulas da soma dos termos de uma progressão aritmética. (a) Para encontrar o décimo termo, precisamos primeiro encontrar a razão da progressão. Sabemos que a soma dos 10 primeiros termos é dada por: S10 = 2 * 10^2 - 15 * 10 S10 = 200 - 150 S10 = 50 Também sabemos que a soma dos 9 primeiros termos é dada por: S9 = 2 * 9^2 - 15 * 9 S9 = 162 - 135 S9 = 27 Subtraindo S9 de S10, obtemos o décimo termo: S10 - S9 = a10 50 - 27 = a10 a10 = 23 Portanto, o décimo termo da progressão é 23. (b) Para encontrar o primeiro termo positivo, precisamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para encontrar a soma dos termos até o primeiro termo positivo. Sabemos que a soma dos n primeiros termos é dada por: Sn = (a1 + an) * n / 2 Podemos reescrever essa fórmula como: an = a1 + (n - 1) * r Substituindo na fórmula da soma, temos: Sn = (a1 + a1 + (n - 1) * r) * n / 2 Sn = (2a1 + (n - 1) * r) * n / 2 Sn = n * (a1 + (n - 1) * r) / 2 Sabemos que queremos encontrar o primeiro termo positivo, então podemos escrever a soma dos termos até o primeiro termo positivo como: S = (a1 + a1 + r) * n / 2 S = (2a1 + r) * n / 2 Queremos que S seja igual a zero, pois isso significa que a soma dos termos até o primeiro termo positivo é igual a zero. Então, podemos escrever a equação: 0 = (2a1 + r) * n / 2 Como queremos encontrar o primeiro termo positivo, sabemos que n é um número inteiro positivo. Portanto, a única maneira de essa equação ser verdadeira é se 2a1 + r = 0. Resolvendo para a1, temos: a1 = -r / 2 Substituindo a fórmula da soma dos termos até o primeiro termo positivo na equação acima, temos: 0 = (2a1 + r) * n / 2 0 = (-n/2) * r + r r = n/2 Substituindo na fórmula da soma dos 10 primeiros termos, temos: S10 = (a1 + a10) * 10 / 2 50 = (a1 + (a1 + 9r)) * 5 50 = (2a1 + 9r) * 5 10a1 + 45r = 50 10a1 + 45(n/2) = 50 a1 = (50 - 22.5n) / 10 Sabemos que a1 precisa ser positivo, então podemos escrever a inequação: a1 > 0 (50 - 22.5n) / 10 > 0 50 - 22.5n > 0 n < 100/9 Portanto, o primeiro termo positivo da progressão é: a1 = (50 - 22.5n) / 10, onde n é um número inteiro positivo menor que 100/9.