MA13 Geometria I Avaliação 1 2012

Questão 1. (pontuação: 2)

O ponto D pertence ao lado AC do triângulo ABC. Sabe-se que AB = BC = CD e que ...

Question

MA13 Geometria I Avaliação 1 2012Questão 1. (pontuação: 2)O ponto D pertence ao lado AC do triângulo ABC. Sabe-se que AB = BC = CD e que o ângulo ABD mede 21o.Determine a medida do ângulo ABC.Questão 2. (pontuação: 2)Quadrados foram constrúıdos sobre os lados de um paralelogramo como mostra a figura abaixo. Mostre que oscentros desses quatro quadrados são vértices de outro quadrado.Questão 3. (pontuação: 2)No triângulo ABC de lados AB = 8, BC = 7 e AC = 9, os pontos M e N dos lados AB e AC, respectivamente,são tais que o segmento MN é tangente à circunferência inscrita no triângulo ABC. Mostre que o peŕımetro dotriângulo AMN é constante e calcule seu valor.Questão 4. (pontuação: 2)No trapézio ABCD os ângulos A e D são retos, AB = 12, CD = 4 e AD = 10. O ponto E pertence ao lado AD e oponto F pertence ao lado BC. Sabe-se que as retas EF e AB são paralelas e que o segmento EF fica dividido emtrês partes iguais pelas diagonais do trapézio. Calcule a distância entre as retas AB e EF .Questão 5. (pontuação: 2)A figura abaixo mostra o triângulo acutângulo ABC inscrito na circunferência de centroO. A reta BD é perpendicularem D a AC e encontra a circunferência em M . A reta CE é perpendicular em E a AB e encontra a circunferênciaem N . As alturas BD e CE intersectam-se em H, ortocentro do triângulo.a) Mostre que HD = DM .b) Mostre que MN é perpendicular a OA.Questão 1Questão 2Questão 3Questão 4Questão 5O enunciado apresenta 5 questões de Geometria.A questão 1 pede para determinar a medida do ângulo ABC, dado que AB = BC = CD e que o ângulo ABD mede 21 graus.A questão 2 pede para mostrar que os centros dos quatro quadrados construídos sobre os lados de um paralelogramo são vértices de outro quadrado.A questão 3 pede para mostrar que o perímetro do triângulo AMN é constante, dado que o segmento MN é tangente à circunferência inscrita no triângulo ABC.A questão 4 pede para calcular a distância entre as retas AB e EF, dado que as retas EF e AB são paralelas e que o segmento EF fica dividido em três partes iguais pelas diagonais do trapézio ABCD.A questão 5 pede para mostrar que HD = DM e que MN é perpendicular a OA, dado que o triângulo ABC é inscrito na circunferência de centro O, a reta BD é perpendicular em D a AC e encontra a circunferência em M, a reta CE é perpendicular em E a AB e encontra a circunferência em N, e as alturas BD e CE intersectam-se em H, ortocentro do triângulo.

Ed · Answer

Para determinar a medida do ângulo ABC, dado que AB = BC = CD e que o ângulo ABD mede 21 graus, podemos utilizar a lei dos cossenos. Como AB = BC, temos que o triângulo ABC é isósceles, logo, os ângulos A e C são iguais. Assim, temos:

cos(A) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)
cos(A) = (AB² + AB² - AB²) / (2 * AB * AB)
cos(A) = 1/2
A = 60 graus

Portanto, a medida do ângulo ABC é de 120 graus.

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