Questão 4. (1,0) (a) Determine os elementos invertíveis de Z24 e mostre que cada um é o seu próprio inverso. (0,5) (b) Calcule a soma de todos os...

(a) Os elementos invertíveis de Z24 são aqueles que possuem inverso multiplicativo. Para encontrar esses elementos, podemos usar o algoritmo de Euclides estendido. Começamos encontrando o máximo divisor comum entre 24 e um número qualquer, digamos 5: 24 = 5 x 4 + 4 5 = 4 x 1 + 1 4 = 1 x 4 + 0 O máximo divisor comum entre 24 e 5 é 1, portanto 5 é invertível em Z24. Usando o algoritmo de Euclides estendido, podemos encontrar o inverso multiplicativo de 5: 1 = 5 - 4 x 1 1 = 5 - (24 - 5 x 4) x 1 1 = 5 x 5 - 24 x 1 Portanto, o inverso multiplicativo de 5 em Z24 é 5. Podemos repetir esse processo para todos os números entre 1 e 23. Os elementos invertíveis de Z24 são: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 Para mostrar que cada um é o seu próprio inverso, basta multiplicar cada um por si mesmo e verificar se o resultado é 1 (o elemento neutro da multiplicação em Z24): 1 x 1 = 1 5 x 5 = 25 = 1 (mod 24) 7 x 7 = 49 = 1 (mod 24) 11 x 11 = 121 = 1 (mod 24) 13 x 13 = 169 = 1 (mod 24) 17 x 17 = 289 = 1 (mod 24) 19 x 19 = 361 = 1 (mod 24) 23 x 23 = 529 = 1 (mod 24) (b) A soma de todos os elementos invertíveis de Z24 é: 1 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 96 (c) O produto de todos os elementos invertíveis de Z24 é: 1 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 = 275880