A figura abaixo mostra uma linha poligonal que parte da origem e passa uma vez por cada ponto do plano cujas coordenadas são números inteiros e não...

(a) Sim, o conjunto dos pares de números inteiros e não negativos tem a mesma cardinalidade que os números naturais. Isso ocorre porque é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre esses dois conjuntos. Uma forma de fazer isso é numerar cada ponto do plano com um número natural, seguindo uma ordem que percorra a linha poligonal. Por exemplo, o ponto (0,0) recebe o número 1, o ponto (1,0) recebe o número 2, o ponto (0,1) recebe o número 3, o ponto (2,0) recebe o número 4, e assim por diante. Dessa forma, cada par de números inteiros e não negativos é associado a um único número natural, e vice-versa. (b) Para chegar ao ponto (n,n), a linha poligonal deve percorrer n unidades na direção horizontal e n unidades na direção vertical. Como a linha segue um caminho em zigue-zague, ela percorre n+1 segmentos horizontais e n+1 segmentos verticais. Cada segmento horizontal tem comprimento 1, e cada segmento vertical tem comprimento 1. Portanto, o comprimento total da linha poligonal é dado por: n+1 segmentos horizontais de comprimento 1 + n+1 segmentos verticais de comprimento 1 = 2n+2 No entanto, essa conta conta cada vértice da linha poligonal duas vezes (uma vez para cada segmento que se encontra nele). Como a linha poligonal tem n+1 vértices, o comprimento total deve ser reduzido em n unidades para evitar essa contagem dupla. Portanto, o comprimento da linha poligonal da origem até o ponto (n,n) é: 2n+2 - n = n² + n (c) O comprimento da linha poligonal da origem até o ponto (10,13) é: 10² + 10 + 13² + 13 = 269