Sendo E o baricentro do triângulo ABC, AE = 10cm, EN = 6cm, e CE = 14cm, o valor de x + y + z, em cm, é: O baricentro divide a mediana em duas par...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade do baricentro que diz que ele divide a mediana em duas partes, sendo uma delas duas vezes maior que a outra. Assim, podemos encontrar o valor de x, y e z. Seja M o ponto médio do lado AC. Temos que EM = 1/2 * AC. Como E é o baricentro, temos que CE = 2 * EN. Logo, EN = 1/2 * CE. Como EM é a mediana relativa ao lado BC, temos que EM divide BC em duas partes iguais. Assim, temos que BM = MC = 1/2 * BC. Como E é o baricentro, temos que AE = 2 * EM. Logo, temos que AE = 2 * BM = 2 * MC. Agora, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo AEN para encontrar o valor de x: x² = AE² - EN² x² = 10² - 6² x² = 64 x = 8 Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo CEM para encontrar o valor de y: y² = CE² - EM² y² = 14² - (1/2 * AC)² y² = 196 - (1/2 * BC)² Como BM = MC, temos que BC = 2 * BM. Logo, temos que: y² = 196 - (1/2 * 2 * BM)² y² = 196 - BM² y² = 196 - (1/2 * AC)² Agora, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo BEM para encontrar o valor de z: z² = BM² - EM² z² = (1/2 * BC)² - (1/2 * AC)² z² = (1/4 * BC²) - (1/4 * AC²) Como BM = MC, temos que BC = 2 * BM. Logo, temos que: z² = (1/4 * (2 * BM)²) - (1/4 * AC²) z² = (1/4 * 4 * BM²) - (1/4 * AC²) z² = BM² - (1/4 * AC²) Agora, podemos substituir BM² por y² + EM² e AC² por 4 * EM²: z² = y² + EM² - (1/4 * 4 * EM²) z² = y² + EM² - EM² z² = y² Como sabemos que x + y + z = 22, podemos substituir os valores encontrados: x + y + z = 8 + y + sqrt(y²) 22 = 8 + y + sqrt(y²) 14 = y + sqrt(y²) 196 = y² + 2y + y² 2y² + 2y - 196 = 0 y² + y - 98 = 0 (y - 7)(y + 14) = 0 Como y não pode ser negativo, temos que y = 7. Substituindo na equação x + y + z = 22, temos que: x + 7 + z = 22 z = 15 - x Substituindo na equação z² = y², temos que: (15 - x)² = 7² 225 - 30x + x² = 49 x² - 30x + 176 = 0 (x - 16)(x - 11) = 0 Como x não pode ser maior que 8, temos que x = 8 e z = 7. Portanto, o valor de x + y + z é 22, e a alternativa correta é a letra c) 22.