429. No ciclo trigonométrico os valores de x, tais que cosx ≤ 1/2, são: a) {x ∈ R / 2π/3 < x < 5π/3} b) {x ∈ R / 2π/3 ≤ x ≤ 5π/3} c) {x ∈ R / π/3...

A alternativa correta é a letra a) {x ∈ R / 2π/3 < x < 5π/3}. Para encontrar os valores de x tais que cosx ≤ 1/2, precisamos identificar em que intervalos do ciclo trigonométrico o cosseno é menor ou igual a 1/2. Sabemos que o cosseno é positivo nos quadrantes I e IV, e que o valor máximo que ele pode atingir é 1. Portanto, os valores de x que satisfazem a condição cosx ≤ 1/2 estão nos quadrantes I e IV, e correspondem aos ângulos cujo cosseno é menor ou igual a 1/2. Podemos encontrar esses ângulos observando a tabela de valores trigonométricos ou utilizando a relação fundamental da trigonometria: cosx = cateto adjacente / hipotenusa. Sabemos que o cateto adjacente é sempre menor ou igual à hipotenusa, portanto, o cosseno é menor ou igual a 1/2 quando o cateto adjacente é menor ou igual à metade da hipotenusa. Assim, os valores de x que satisfazem a condição cosx ≤ 1/2 são aqueles em que o ângulo correspondente tem um cateto adjacente menor ou igual à metade da hipotenusa. No ciclo trigonométrico, esses ângulos estão no intervalo {x ∈ R / 2π/3 < x < 5π/3}.