Exercício 16: Esboce o gráfico da função: ???? = ????(????) = {−|???? + 3| + 2 ???????? ???? < −2, ????2 − 3 ???????? − 2 ≤ ???? ≤ 2, −|???? −...

a) Para determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Para ???? < -2, a função é uma função decrescente, pois a medida que ???? aumenta, o valor de |???? + 3| diminui, fazendo com que o valor da função diminua. Para -2 ≤ ???? ≤ 2, a função é uma função crescente, pois a medida que ???? aumenta, o valor de ????^2 diminui, fazendo com que o valor da função aumente. Para ???? > 2, a função é uma função decrescente, pois a medida que ???? aumenta, o valor de |???? - 3| aumenta, fazendo com que o valor da função diminua. Portanto, a função é crescente em [-2, 2] e decrescente em (-∞, -2) e (2, ∞). b) Para determinar os intervalos onde a função é menor ou igual a -2, precisamos encontrar os valores de ???? que satisfazem a desigualdade ???? ≤ -2. Substituindo a função dada na desigualdade, temos: -|???? + 3| + 2 ≤ -2 Isolando o valor absoluto, temos: -|???? + 3| ≤ -4 Multiplicando por -1 e invertendo a desigualdade, temos: |???? + 3| ≥ 4 Isso nos dá duas desigualdades: ???? + 3 ≥ 4 ou ???? + 3 ≤ -4 Resolvendo cada uma delas, temos: ???? ≥ 1 ou ???? ≤ -7 Portanto, a parte do gráfico que satisfaz a condição é o intervalo (-∞, -7] U [1, ∞). c) A função não é invertível, pois existem valores de ???? que possuem a mesma imagem na função. Por exemplo, os valores ???? = -1 e ???? = -5 possuem a mesma imagem -2 na função. d) Podemos escolher os intervalos [-2, 0] e [0, 2], pois nesses intervalos a função é crescente e, portanto, é possível encontrar a inversa da função. Para justificar essa escolha, podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário, que garante que uma função contínua e estritamente crescente ou decrescente em um intervalo é invertível nesse intervalo.