Se r subscript u cross times space r subscript v não é 0, então, a superfície S é considerada lisa. Em uma superfície lisa, o plano tangente é aque...

Primeiramente, vamos encontrar os vetores tangentes r subscript u e r subscript v: r subscript u = (1, 6u, 1) r subscript v = (1, 0, -1) Agora, vamos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores: r subscript u cross times space r subscript v = (6u, 2, -6u) Como o resultado não é igual a zero, podemos afirmar que a superfície é lisa. Para encontrar o plano tangente no ponto (2, 3, 0), vamos calcular o vetor normal ao plano tangente, que é o resultado do produto vetorial entre r subscript u e r subscript v: n = r subscript u cross times space r subscript v = (18, 6, -18) Agora, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula: n dot times (r - r subscript 0) = 0 Onde r é um ponto genérico no plano, r subscript 0 é o ponto dado (2, 3, 0) e dot times representa o produto escalar. Substituindo os valores, temos: 18(x - 2) + 6(y - 3) - 18z = 0 Simplificando, temos: 3x - y + 3z = 9 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 3x - y + 3z = 9.