Problemas de Cálculo

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Resposta: \(f'''(x) = -\cos(x)\). 
 Explicação: A terceira derivada do cosseno é menos o próprio cosseno. 
 
236. Problema: Qual é o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \(y = 
\sin(x)\) e \(y = \cos(x)\) em torno do eixo \(x\) no intervalo \([0, \frac{\pi}{4}]\)? 
 Resposta: O volume é \(\frac{\pi}{4}\) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilize o método dos discos ou dos anéis para calcular o volume. 
 
237. Problema: Se \(f(x) = e^x\), qual é a série de Taylor de \(f\) centrada em \(x = 1\)? 
 Resposta: \(f(x) = e + e(x - 1) + \frac{e}{2}(x - 1)^2 + \frac{e}{6}(x - 1)^3 + \cdots\). 
 Explicação: Utilize a fórmula da série de Taylor para calcular os termos da série. 
 
238. Problema: Se \(f(x) = \ln(x)\), qual é a derivada quarta de \(f\)? 
 Resposta: \(f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente para calcular a quarta derivada. 
 
239. Problema: Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y' + 4y = e^{2x}\)? 
 Resposta: \(y = (C_1 + C_2x)e^{2x} + xe^{2x}\). 
 Explicação: Encontre a solução geral da equação homogênea e uma solução particular 
da equação não homogênea. 
 
240. Problema: Se \(f(x) = \sqrt{x}\), qual é a série de Maclaurin de \(f\)? 
 Resposta: \(f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots\). 
 Explicação: Utilize a expansão da série de Maclaurin para a raiz quadrada. 
 
241. Problema: Se \(f(x) = e^x\), qual é a derivada terceira de \(f\)? 
 Resposta: \(f'''(x) = e^x\). 
 Explicação: A terceira derivada de \(e^x\) é \(e^x\) mesma. 
 
242. Problema: Qual é a solução geral da equação diferencial \(y'' + y = \sin(x)\)? 
 Resposta: \(y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x)x\).