Lista de Exercícios Planos Tangentes a Superfícies

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7ª Lista: Exercícios sobre Planos Tangentes a Superfícies
 Natália Barroso
Determine uma equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado:
a) z=(x2+y2)2, (1,2,25) b) f(x, y)=4xy, (4,1/4,4) c) z=senx+sen2y+sen3(x+y), (0,0,0)
d) z=x2+xy+ y2-10y+5, (3,2,4)  e) z= x2-2y2, (3,2, 1)  f) z=(2x+y)/(x-2y), (3,1, 7) 
g) z= eycosx ; (0,0,1)  h) z=arctg(x/y), (4,4,pi/4) i) F(x, y, z) = x y2+y z2+z x2-25, (1,2,3) 
j) z3+xyz=33, (1,2,3) j) G(x,y,z) = x2+y2 – z, (1, 1, 3)
Para os exercícios 1a, b, j, determine equações simétricas das retas normais nos pontos indicados.
 Determine os pontos da superfície x2-2 y2-3z2=33 nos quais os planos tangentes sejam paralelos ao plano 8x+4y+6z = 5. (R: 
)
Em qual ponto P do paraboloide 
 o plano tangente é paralelo ao plano 
?
Resp: 
Seja P0 = (x0, y0, z0) com z0 > 0 um ponto da esfera de raio a. Mostre que o plano tangente nesse ponto é perpendicular ao raio vetor. Determine a equação do plano tangente à esfera nesse ponto.
Qual a equação do plano tangente ao elipsóide com semi-eixos a, b e c, no ponto P0 = (x0, y0, z0)?
Resp: 
O ângulo entre duas superfícies em um ponto comum é o menor ângulo positivo entre as normais a essas superfícies nesse ponto. Calcule o ângulo entre z = exy-1 e z = ln(x2+y2)1/2 em (0,1,0).
Duas superfícies são ditas ortogonais em um ponto de interseção se suas normais são perpendiculares nesse ponto: (a) Mostre que superfícies com equações 
 e 
 são ortogonais em um ponto P em que 
 e 
 se, e só se, em P, 
; (b) Utilize a parte (a) para mostrar que as superfícies 
e 
 são ortogonais em todo ponto de interseção.
A temperatura em um ponto (x,y,z) de certa região é dada por 
, em que T é medido em 
 e x, y, z em metros:
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 
 em direção ao ponto 
;
Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P?
Encontre a taxa máxima de crescimento em P.
Resp: a) 
 b) 
 c) 
_1459092571.unknown
_1459093603.unknown
_1459684467.unknown
_1464452853.unknown
_1459684520.unknown
_1459094193.unknown
_1459094292.unknown
_1459093754.unknown
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_1459092620.unknown
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