55. ITA-SP Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em A. Seja D a intersecção da bissetriz do ângulo  com o lado BC e E um ponto da reta s...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo em função do raio do círculo inscrito, que é dada por: A = (a + b + c)r / 2 Onde a, b e c são os lados do triângulo e r é o raio do círculo inscrito. Primeiramente, vamos calcular o valor de BD. Como o triângulo ABC é isósceles, temos que BD é a mediana relativa à hipotenusa AC, ou seja, BD = BC / 2. Como BC = AC / √2, temos que BD = AC / (2√2). Como AD e BE são paralelos, temos que os triângulos ABD e EBC são semelhantes. Assim, temos que: BD / AD = BC / BE Substituindo BD e BC pelos valores encontrados acima, temos: AC / (2√2) / 2 = AC / BE Simplificando, temos: BE = AC√2 / 4 Agora, podemos calcular a altura do triângulo EBC em relação à base BC. Como o triângulo EBC é retângulo em B, temos que a altura é igual a BE. Assim, temos: h = AC√2 / 4 Agora, podemos calcular a área do triângulo EBC: A = (BC x h) / 2 Substituindo BC por AC / √2 e h pelo valor encontrado acima, temos: A = (AC2 / 8) x √2 Agora, podemos calcular o raio do círculo inscrito. Como o triângulo EBC é retângulo em B, temos que o raio é igual à metade da altura relativa à hipotenusa. Assim, temos: r = h / 2 = AC√2 / 8 Finalmente, podemos calcular a área do círculo inscrito: A = πr2 = π(AC2 / 64) x 2 A = πAC2 / 32 Substituindo AD por 2 cm, temos que AC = 2√2 cm. Substituindo esse valor na fórmula acima, temos: A = π(8 / 32) = π / 4 Portanto, a alternativa correta é a letra E) π(4 – 2√2) cm2.