Para que valores de x vale: (cos(x) + sen(x))4 – (cos(x) – sen(x))4 = 2 [(cos(x) + sen(x))2 – (cos(x) – sen(x))2]? a) x = π/4 + kπ, k ∈ Z b) x = ...

Para resolver essa equação, podemos utilizar algumas identidades trigonométricas. Primeiramente, vamos expandir as potências de (cos(x) + sen(x)) e (cos(x) - sen(x)): (cos(x) + sen(x))4 = cos4(x) + 4cos3(x)sen(x) + 6cos2(x)sen2(x) + 4cosen3(x)sen(x) + sen4(x) (cos(x) - sen(x))4 = cos4(x) - 4cos3(x)sen(x) + 6cos2(x)sen2(x) - 4cosen3(x)sen(x) + sen4(x) Subtraindo essas duas expressões, obtemos: (cos(x) + sen(x))4 - (cos(x) - sen(x))4 = 8cos3(x)sen(x) + 8cosen3(x)sen(x) Agora, vamos expandir as potências de (cos(x) + sen(x))2 e (cos(x) - sen(x))2: (cos(x) + sen(x))2 = cos2(x) + 2cos(x)sen(x) + sen2(x) (cos(x) - sen(x))2 = cos2(x) - 2cos(x)sen(x) + sen2(x) Subtraindo essas duas expressões, obtemos: (cos(x) + sen(x))2 - (cos(x) - sen(x))2 = 4cos(x)sen(x) Substituindo essas expressões na equação original, temos: 8cos3(x)sen(x) + 8cosen3(x)sen(x) = 2 * 4cos(x)sen(x) Simplificando, obtemos: 4sen(x)cos(x)(2cos2(x) - 2sen2(x) - 1) = 0 Portanto, temos duas possibilidades: sen(x) = 0 ou cos(x) = ±√2/2 Se sen(x) = 0, então x = kπ, onde k é um número inteiro. Se cos(x) = ±√2/2, então x = π/4 + kπ/2 ou x = 3π/4 + kπ/2, onde k é um número inteiro. Portanto, a alternativa correta é a letra A) x = π/4 + kπ, k ∈ Z.