20. UFRJ Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e qu...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume do cone, que é V = (1/3) * pi * r^2 * h, onde r é o raio da base e h é a altura do cone. Como os dois cones têm o mesmo volume, podemos igualar as fórmulas e simplificar: (1/3) * pi * r^2 * h = (1/3) * pi * R^2 * H Dividindo ambos os lados por (1/3) * pi * r^2, temos: H/r^2 = H/R^2 Multiplicando ambos os lados por R^2, temos: H * R^2 = H * r^2 Como a reta que suporta uma das geratrizes de um cone passa pelo vértice do outro cone, temos que a altura de um cone é igual à soma da altura do outro cone com a distância entre os vértices. Seja d a distância entre os vértices, temos: H = h + d Substituindo H por h + d na equação anterior, temos: (h + d) * R^2 = h * r^2 Expandindo o produto, temos: h * R^2 + d * R^2 = h * r^2 Isolando d, temos: d = (h * r^2 - h * R^2) / R^2 d = h * (r^2 - R^2) / R^2 Como a reta que suporta uma das geratrizes de um cone passa pelo vértice do outro cone, temos que a distância entre os vértices é igual à soma das geratrizes. Seja g a geratriz de um cone, temos: d = g Substituindo d por g na equação anterior, temos: g = h * (r^2 - R^2) / R^2 Como os cones têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, temos que a soma das alturas é igual à distância entre os centros das bases. Seja D a distância entre os centros das bases, temos: D = h + H Substituindo H por h + d e d por g, temos: D = h + h + g D = 2h + g Como a reta que suporta uma das geratrizes de um cone passa pelo vértice do outro cone, temos que as geratrizes são iguais. Seja s a geratriz de um cone, temos: s = sqrt(h^2 + r^2) = sqrt((h + g)^2 + R^2) Expandindo os quadrados, temos: h^2 + r^2 = h^2 + 2hg + g^2 + R^2 r^2 = 2hg + g^2 + R^2 Substituindo g por h * (r^2 - R^2) / R^2, temos: r^2 = 2h^2 * (r^2 - R^2) / R^2 + h^2 * (r^2 - R^2)^2 / R^4 + R^2 Multiplicando ambos os lados por R^2, temos: r^2 * R^2 = 2h^2 * (r^2 - R^2) * R^2 + h^2 * (r^2 - R^2)^2 + R^4 Expandindo os produtos, temos: r^2 * R^2 = 2h^2 * r^2 * R^2 - 2h^2 * R^4 + h^2 * r^4 - 2h^2 * r^2 * R^2 + h^2 * R^4 + R^4 Simplificando, temos: r^2 * R^2 = h^2 * r^4 + R^4 Dividindo ambos os lados por r^2 * R^2, temos: 1 = (h/r)^2 + (R/r)^2 Como r < R, temos que R/r > 1. Podemos escrever R/r como 1 + x, onde x é um número positivo. Substituindo na equação anterior, temos: 1 = (h/r)^2 + (1 + x)^2 1 = (h/r)^2 + 1 + 2x + x^2 (h/r)^2 = -2x - x^2 Como x é positivo, temos que -2x - x^2 é negativo. Portanto, (h/r)^2 é negativo, o que é impossível. Concluímos que não existe solução para o problema.