47. (Ufrj) Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume do cone, que é V = (1/3) * pi * r^2 * h, onde r é o raio da base e h é a altura do cone. Como os dois cones têm o mesmo volume, podemos igualar as fórmulas de volume de cada um e obter a relação entre os raios e as alturas: (1/3) * pi * r^2 * h = (1/3) * pi * s^2 * H Dividindo ambos os lados por (1/3) * pi, temos: r^2 * h = s^2 * H Como a reta que suporta uma das geratrizes de um cone passa pelo vértice do outro, temos que a altura de um cone é igual à soma da altura e da geratriz do outro cone. Assim, podemos escrever: H = h + g Substituindo H na equação anterior, temos: r^2 * h = s^2 * (h + g) r^2 * h = s^2 * h + s^2 * g r^2 = s^2 * (1 + x^2) Onde x = r/s. Como as bases dos cones são tangentes, temos que a distância entre os centros das bases é igual à diferença entre os raios: d = s - r Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para relacionar d, r e g: d^2 + g^2 = s^2 Substituindo d por s - r e g por sqrt(s^2 - r^2), temos: (s - r)^2 + s^2 - r^2 = s^2 s^2 - 2sr + r^2 + s^2 - r^2 = s^2 2s^2 - 2sr = s^2 s = 2r Substituindo s por 2r na equação anterior, temos: r^2 = (2r)^2 * (1 + x^2) r^2 = 4r^2 * (1 + x^2) 1 = 4(1 + x^2) 1/4 = 1 + x^2 x^2 = -3/4 Como x é a razão entre dois comprimentos, deve ser um número positivo. Portanto, não há solução real para x.