57. PUC-RS Se o terceiro termo do desenvolvimento de (a + b)n é 21.a5.b2, então o sexto termo é: a) 35.a4.b3 b) 21.a3.b4 c) 21.a2.b5 d) 7.a.b6 e) 7...

Para encontrar o sexto termo do desenvolvimento de (a + b)n, precisamos usar a fórmula geral do termo k do binômio de Newton: T(k) = C(n, k-1) * a^(n-k+1) * b^(k-1) Onde C(n, k-1) é o coeficiente binomial de n e k-1. Sabemos que o terceiro termo é 21.a^5.b^2, então podemos escrever: T(3) = C(n, 2) * a^(n-2+1) * b^(2-1) = 21.a^5.b^2 Simplificando: C(n, 2) * a^(n-1) * b = 21.a^5.b^2 C(n, 2) * a^(n-1) = 21.a^5.b C(n, 2) = 21.a^4.b Agora podemos usar a fórmula geral do termo 6: T(6) = C(n, 5) * a^(n-6+1) * b^(6-1) T(6) = C(n, 5) * a^(n-5) * b^5 Substituindo C(n, 2) por 21.a^4.b, temos: T(6) = C(n, 5) * a^(n-5) * b^5 T(6) = (n! / (5! * (n-5)!)) * a^(n-5) * b^5 T(6) = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)) * a^(n-5) * b^5 T(6) = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 120) * a^(n-5) * b^5 Agora podemos substituir C(n, 2) por 21.a^4.b: 21.a^4.b = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 120) * a^(n-5) * b^5 21.a^4 = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 120) * a^(n-5) Multiplicando ambos os lados por a: 21.a^5 = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 120) * a^(n-4) Agora podemos substituir T(6) por sua expressão geral: T(6) = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 120) * a^(n-5) * b^5 T(6) = (n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 120) * (21.a^5 / ((n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4)) / 120)) * b^5 Simplificando: T(6) = 21.a^5.b^5 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) T(6) = 7.a.b^5 Portanto, a resposta correta é a letra D) 7.a.b^6.