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Mostre que a matriz A = ( 1 1 ; -2 4 ) do Exemplo 33.1 é diagonalizável. Verificar se a matriz A tem autovalores distintos. Encontrar uma base d...

Mostre que a matriz A = ( 1 1 ; -2 4 ) do Exemplo 33.1 é diagonalizável.

Verificar se a matriz A tem autovalores distintos.
Encontrar uma base de autovetores.
Encontrar a matriz diagonal D e a matriz P tal que D = P^-1 * A * P.
a) Somente a afirmação 1 está correta.
b) Somente a afirmação 2 está correta.
c) Somente a afirmação 3 está correta.
d) As afirmações 1, 2 e 3 estão corretas.
e) As afirmações 1 e 2 estão corretas.

Essa pergunta também está no material:

MIOLO_Algebra_Linear_p_Eng_Prod_Vol2
210 pág.

💡 1 Resposta

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Para mostrar que a matriz A é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. 1) Verificar se a matriz A tem autovalores distintos: Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade e λ é o autovalor desconhecido. Temos: det(A - λI) = det(1-λ 1; -2 4-λ) = (1-λ)(4-λ) + 2 = λ² - 5λ + 6 = (λ-2)(λ-3) Portanto, os autovalores são λ1 = 2 e λ2 = 3, que são distintos. 2) Encontrar uma base de autovetores: Para cada autovalor, precisamos encontrar um autovetor correspondente. Para λ1 = 2, temos: (A - 2I)v1 = 0 (1-2 1; -2 4-2)(x y) = (0 0) (-1 1; -2 2)(x y) = (0 0) x - y = 0 -2x + 2y = 0 x = y Portanto, um autovetor correspondente a λ1 é v1 = (1 1). Para λ2 = 3, temos: (A - 3I)v2 = 0 (-2 1; -2 1)(x y) = (0 0) -2x + y = 0 -2x + y = 0 x = y/2 Portanto, um autovetor correspondente a λ2 é v2 = (1 -2). 3) Encontrar a matriz diagonal D e a matriz P tal que D = P^-1 * A * P: A matriz diagonal D é formada pelos autovalores na diagonal principal, ou seja, D = (2 0; 0 3). A matriz P é formada pelos autovetores correspondentes como colunas, ou seja, P = (1 1; 1 -2). Então, temos: P^-1 = (1/3 1/3; 1/6 -1/6) P^-1 * A = (2 0; 0 3) * P^-1 A * P = P * D Portanto, a afirmativa correta é a letra d) As afirmativas 1, 2 e 3 estão corretas.

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