Aula 2 Matrizes I

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1
MATRIZES I
Conceitos iniciais, matriz transposta, triangular, 
adição e subtração de matrizes, produto de uma 
matriz por um escalar
2
MATRIZES I
Conceitos iniciais, matriz transposta, triangular, adição e 
subtração de matrizes, produto de uma matriz por um escalar
Prof. Antônio Luís Valente
ALGEBRA LINEAR – ENGENHARIA AGROINDUSTRIAL/FURG – AULA 2
Adaptado de “Álgebra Linear”
Alfredo Steinbruch & Paulo Winterle (2006)
3
1. Definição de Matriz
Chama-se matriz de ordem m por n a um
quadro de mxn elementos (números,
polinômios, funções,etc) dispostos em m linhas
e n colunas.

















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
m linhas
n linhas
Matriz mxn
4
A seguinte coleção retangular de três linhas e sete colunas pode
descrever o número de horas que um estudante gastou estudando
três matérias durante uma certa semana:
Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom
Matemática 2 3 2 4 1 4 2
História 0 3 1 4 3 2 2
Química 4 1 3 1 0 0 2
Fonte: Anton&Rorres, 2008










2001314
2234130
2414232
Se suprimirmos os títulos,
ficaremos com a seguinte coleção
retangular de números com três
linhas e sete colunas, denominada
matriz:
EXEMPLO 1
Matriz 3x7
5
EXEMPLO 2
Matriz 9x9
Matriz 3x9
Matriz 9x3
6
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20000 32000 45000
Física 15000 18000 25000
Química 16000 17000 23000
As vendas de uma editora em relação aos livros de Matemática,
Física e Química, no primeiro trimestre de um ano:










230001700016000
250001800015000
450003200020000
EXEMPLO 3
Matriz 3x3
7
População 
urbana
População
rural
1940 31 69
1950 36 64
1960 45 55
1970 56 44
1980 64 36
1990 72 28
Localização da população brasileira de 1940 a 1990,
em porcentagem:




















2872
3664
4456
5545
6436
6931
EXEMPLO 4
Matriz 6x2
8
a) Imagem digital de 5 x 5 pixels, com 8 tons de cinza.
b) Representação numérica da imagem em (a): os 8 tons de 
cinza são representados por números de 0 a 7.
Fonte: Técnicas de processamento de imagens de tomografia computadorizada
Gabriela Castellano, Márcia Silva de Oliveira
e Li Li Min (2009) 
www.comciencia.br/comciencia/?section=8&edica...
EXEMPLO 5
9
Ilustração esquemática de uma imagem digital. A imagem
matriz tem 4 x 4 pixels (à esquerda). Valores numéricos
correspondentes aos vários níveis de cinza
Fonte: http://www.informaticamedica.org.br/informaticamedica/n0106/imagens.htm
EXEMPLO 6
10
Exemplos de segmentação de uma lesão de AVC hemorrágico em imagem de CT: 
(a) manual. (b) automática. Note-se, nesse caso, a dificuldade do algoritmo em delinear 
precisamente a região lesionada.
Fonte: Técnicas de processamento de imagens de tomografia computadorizada
Gabriela Castellano, Márcia Silva de Oliveira
e Li Li Min (2009) www.comciencia.br/comciencia/?section=8&edica...
EXEMPLO 6
11
EXEMPLO 7
12
Portanto, uma matriz é um 
agrupamento retangular de números.










 41
03
21
 3012 











 
000
1
2
1
0
2e 




3
1
*Os números neste agrupamento são chamados de entradas ou 
elementos da matriz
13
Usaremos letras maiúsculas para denotar
matrizes e letra minúsculas para denotar
quantidades numéricas.







243
712
A 






fed
cba
C
Matriz A Matriz C
14

















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
ija
n colunas
m linhas
Uma matriz arbitrária m x n pode ser escrita:
2. Matriz m por n
Elemento 
da matriz
15











43100
57203
01872
A
m =3, n=5
Matriz 3 por 5
Exemplo - Matriz 3x5
16
3. Elemento da Matriz
ija
Cada elemento da matriz apresenta dois
índices:
1o índice: indica a linha (subscrito)
2o índice: indica a coluna

















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
17
Uma regra ou padrão pode ser usada para descrever
uma matriz específica.
Escrever a matriz 3x4, onde
jiaij 











7654
6543
5432
A














43332313
42322212
41312111
A
18
4. Representação Abreviada de uma Matriz
i – varia de 1 a m
J – varia de 1 a n
 ijaA 
Como já foi mencionado, usaremos letras maiúsculas para denotar matrizes e letra
minúsculas para denotar quantidades numéricas.
19
5. Ordem de uma Matriz
(tamanho, dimensão)
Se a matriz é ordem m por n, escreve-se
 nm
A
,
 4,3A matriz da ordem A











3023
9257
1063
A
Matriz 3x4
A matriz é de ordem 
3 por 4
Ordem da matriz
Determinar a dimensão 
da matriz é importante 
para operações 
envolvendo mais de 
uma.
Ex: Ao adicionar ou 
subtrair matrizes, as duas 
matrizes devem ter a 
mesma dimensão.
20
6. Matriz Retangular
Uma matriz na qual .
nm 

















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211







243
712
A
m = 2
n = 3
 3,2A matriz da ordem A
Exemplo:
21
7. Matriz Coluna
Matriz de ordem n por 1.

















na
a
a
a
A
...
3
2
1
 1,nA
 1,A 
matriz da ordem
nA
Uma matriz coluna pode representar um vetor. Por este motivo essa
matriz é denominada vetor-coluna.

















18
23
4
3
45
B
 1,5B
22
8. Matriz Linha
Matriz de ordem 1 por n.
 naaaaA ...321
 nA ,1A matriz da ordem 
Uma matriz linha pode também representar um vetor.
Por este motivo essa matriz é denominada vetor-linha.
 16082 B
 nA ,1
 5,1B
23
9. Matriz Quadrada
Número de linhas = número de colunas
A ordem da matriz quadrada é n por n, ou apenas n.

















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
24
EXEMPLO - Matriz Quadrada











351
712
063
A
 
3 ordem de matrizou 
 A matriz da ordem 3,3A
25

















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
113121110. Diagonal Principal
Numa matriz quadrada , de ordem n, os
elementos em que constituem a diagonal
principal.
ija
 
nn
aaaa ...
332211
ji 
 ijaA 
26
11. Diagonal Secundária
Os elementos de , em que .
 
123121
...
nnnn
aaaa












333231232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
1 nji ijaA 
13413
13422
13431



27
12. Matriz Diagonal
A matriz quadrada que tem os elementos
quando .
0
ij
a ji 

















nna
a
a
a
A
0000
...............
0...00
0...00
0...00
33
22
11 ijaA 
Uma matriz quadrada na qual todas as entradas fora da diagonal principal são zero.
28











100
010
001
B














8000
0000
0040
0006
C








50
02
A
Exemplo
de
matrizes
diagonais
29
13. Matriz Escalar
É a matriz diagonal que tem elementos iguais entre
si, quando
ij
a











500
050
005
A
ji 
30
14. Matriz Unidade ou Identidade - I
É a matriz escalar de qualquer ordem que tem os
elementos para .
1
ij
a
ji 
Indica-se por .IIn 







10
01
2I











100
010
001
3I







2221
1211
2
aa
aa
I
31
Matriz Unidade é também chamada Matriz Identidade.
São, portanto, matrizes quadradas com entrada 1 na diagonal
principal e com entrada 0 fora da diagonal principal.













1000
0100
0010
0001
I
Matrizes identidade ou unidade surgem naturalmente no estudo
da forma escalonada reduzida por linha de matrizes quadradas.
32
),(),(),( nmnnnm AIA 
Assim, uma matriz unidade ou identidade desempenha na artimética
matricial o mesmo papel que o número 1 desempenha nas relações
numéricas:
aaa  .11.







232221
131211
aaa
aaa
A
A
aaa
aaa
aaa
aaa
A 























232221
131211
232221
131211
100
010
001
15. Multiplicação* por uma matriz
Unidade ou Identidade
* Operações de matrizes são operações especiais definidas especificamente para elas.
33























623
542
100
010
001
623
542
EXEMPLO
),(),(),( nmnnnm AIA 
)3,2()3,3()3,2( AIA 























623
542
100
010
001
623
542
34
16. Matriz Zero ou Nula
É a matriz onde todos os elementos são nulos.
ij
a











000
000
000
0
Tem todas as suas entradas nulas.
35
17. Matriz Transposta
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a
matriz AT, de ordem n por m, que se obtém da matriz A
permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice.

















2313
2212
2111
232221
131211
aa
aa
aa
A
aaa
aaa
A T
Ou seja, a primeira coluna de AT é a primeira linha de A, a segunda coluna de AT é a 
segunda linha de A, e assim por diante.
36




















712
35
82
738
1252
TAA
EXEMPLO
 3,2A  2,3TA
37







































604
872
531
685
073
421
685
073
421
TAA
No caso especial em que a matriz A é uma matriz
quadrada, a transposta de A pode ser obtida pela
permutação das entradas posicionadas simetricamente
em relação à diagonal principal.
Também pode ser obtida “refletindo” A em torno de sua
diagonal principal.
Permutando entradas posicionadas 
simetricamente em relação à diagonal 
principal
38
Exercício 1













1230
4153
0769
1862
A
Determinar a matriz transposta de A:
39













1401
2178
3566
0392
TA













1230
4153
0769
1862
A
Solução:
40
Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A,
denotado por tr (A), é definido pela soma das entradas
na diagonal principal de A.
Obs: o traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada.
18. Traço de A
332211
333231
232221
131211
)( aaaAtr
aaa
aaa
aaa
A 











110751)(
0124
3721
4853
0721

















 BtrB
41
19. Matriz Triangular Superior
É a matriz quadrada A=[aij], que tem os elementos
aij=0 para i>j.















6000
3200
4830
9745
A
a31
Uma matriz quadrada na qual todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero.













44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
42
20. Matriz Triangular Inferior
É a matriz quadrada A=[aij], que tem os elementos
aij=0 para i<j.














6000
0826
0072
0005
A
a24
Uma matriz quadrada na qual todas as entradas acima da diagonal principal são zero.













44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
43
21. Igualdade de Matrizes
Duas matrizes e de ordem (m,n)
são iguais se, e somente se, .
 ijaA 
 ijbB 
ij
ij
ba 





















20
13
42
20
13
42
* Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm o mesmo 
tamanho (ordem) e suas entradas correspondentes são iguais.
44
22. Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes e de ordem (m,n),
é uma matriz tal que:
 ijaA   ijbB 
 ijcC  ijijij bac 




















232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaa














































910
021
136
613
503
220
524
312
413
201
412
325
*Se A e B são matrizes de mesmo tamanho (ordem), então a soma A+B é a matriz 
obtida somando as entradas ou elementos de B às entradas ou elementos 
correspondentes de A.
45
23. Diferença de Duas Matrizes
A diferença de duas matrizes e de ordem (m,n),
é uma matriz tal que:
 ijaA   ijbB 
 ijcC  ijijij bac 




















232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaa
















































116
421
912
057
503
220
524
312
413
201
412
345
*Se A e B são matrizes de mesmo tamanho (ordem), então a diferença A-B é a matriz 
obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes de A.
46
Matrizes de ordem (tamanhos) distintos não 
podem ser somadas ou subtraídas.
47











0724
4201
3012
A














5423
1022
31534
B
Exercício 2
Determine A+B, A-B:
48











5307
3221
34542
BA














51141
5223
28526
BA
Soluções:
49
24. Propriedades da Adição de Matrizes
Adição) da idadeAssociativ da (Lei CB)(AC)(Bb)A
Adição) a para dadeComutativi da (Lei ABBa)A


A AA
zeroda matriz opriedade 
 00
Pr
0AAAA
opostamatriz da ePropriedad

50
25. Produto de uma Matriz por um Escalar
Se é um escalar, o produto de uma matriz por esse
escalar é uma matriz tal que
  ijaA 
 ijbB  ijij ab 

























02515
51020
0)5(535
15)2(545
053
124
5

51
Exercício 3
Dadas as matrizes, determine 2A, (-1)B, 1/3C:







131
432
A








531
720
B





 

1201
123
C
52







262
864
2A









531
720
)1( B





 

401
123
3
1
C
Soluções:
53
26. Propriedades da Multiplicação Matricial
BAB)-(A i)
BA)(A h)
CABAC)Ag)(B
ACABC)f)A(B
Direita) à ividadeDistribuit da (Lei BCACB)Ce)(A
Esquerda) à ividadeDistribuit da (Lei ACABC)(B A d)
ação) Multiplicda idadeAssociativ da (Lei (AB)Cc)A(BC)









B
A
A





n)1A
B)A(A)B(B)(m)
)A(A)(l)
μAAμ)Ak)(
μAAμ)Aj)(



 PROPRIEDADES DA 
MULTIPLICAÇÃO POR UM 
ESCALAR
zeromatriz 00;0Ao)A0 
54
27. Resumo da Aritmética Matricial
BAB)-(A i)
BA)(A h)
CABAC)Ag)(B
ACABC)f)A(B
Direita) à ividadeDistribuit da (Lei BCACB)Ce)(A
Esquerda) à ividadeDistribuit da (Lei ACABC)(B A d)
ação) Multiplicda idadeAssociativ da (Lei (AB)Cc)A(BC)
Adição) da idadeAssociativ da (Lei CB)(AC)(Bb)A
Adição) a para dadeComutativi da (Lei ABBa)A











B
A
A





n)1A
B)A(A)B(B)(m)
)A(A)(l)
μAAμ)Ak)(
μAAμ)Aj)(




0000
0
0
00




A;d)A
-A-Ac)
b) A-A
AAa) A
Propriedade das Matrizes Zero
0AAAA 
Propriedade da Matriz Oposta