40. UnB-DF Considere a constru- ção de escadas, em diversos es- tágios, efetuada empilhando-se cubos de mesmas dimensões, como mostrado na figura s...

Para resolver o problema, é necessário analisar a figura e observar que, no primeiro estágio, há apenas um cubo. No segundo estágio, há quatro cubos, sendo três aparentes e um de apoio. No terceiro estágio, há nove cubos, sendo oito aparentes e um de apoio. E assim por diante. Com base nessa observação, podemos concluir que o número total de cubos empregados no n-ésimo estágio é dado pela soma dos n primeiros números ímpares, ou seja: a_n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) Podemos reescrever essa soma como: a_n = n² Assim, podemos julgar os itens da seguinte forma: ( ) a6 > 60 Substituindo n = 6 na fórmula, temos: a6 = 6² = 36 Como 36 não é maior que 60, o item está errado. ( ) No n-ésimo estágio, existem n(n + 1) cubos na escada n. Substituindo n = 3 na fórmula, temos: a3 = 3² = 9 O número de cubos aparentes no terceiro estágio é 8, que é igual a 3(3 + 1). Portanto, o item está correto. ( ) a10 = (10 x 11) + a9 Substituindo n = 10 e n = 9 na fórmula, temos: a10 = 10² = 100 a9 = 9² = 81 O item está correto, pois: a10 = 110 + a9 a10 = 110 + 81 a10 = 191 ( ) Se en representa o número de cubos da escada n no n-ésimo estágio, então a sequência das diferenças dn = en - en-1, para n ≥ 2, forma uma progressão aritmética. Substituindo n = 2, 3 e 4 na fórmula, temos: a2 = 2² = 4 a3 = 3² = 9 a4 = 4² = 16 As diferenças são: d2 = a2 - a1 = 4 - 1 = 3 d3 = a3 - a2 = 9 - 4 = 5 d4 = a4 - a3 = 16 - 9 = 7 A sequência das diferenças não forma uma progressão aritmética, pois não há uma constante que some a cada termo para obter o próximo. Portanto, o item está errado.