49. UFMS O resto da divisão de p(x) = x3 + 2x2 + mx + n por x – 2 é 14, onde m e n são números reais. Se uma das raízes de p(x) é 1, então é corret...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto e o Teorema de D'Alembert. Sabemos que o resto da divisão de p(x) por x - 2 é 14, então podemos escrever: p(2) = 14 Substituindo x = 1 em p(x), temos: p(1) = 1³ + 2.1² + m.1 + n = 3 + m + n Como 1 é uma raiz de p(x), então p(1) = 0. Logo, temos: 3 + m + n = 0 Agora, podemos utilizar o Teorema de D'Alembert para encontrar as outras raízes de p(x). Dividindo p(x) por x - 1, obtemos: p(x) = (x - 1)(x² + 3x + 3) + 3 As outras raízes de p(x) são as raízes de x² + 3x + 3, que são números complexos. Portanto, a única raiz real de p(x) é 1. Agora, podemos utilizar o Teorema do Resto novamente para encontrar o valor de n: p(x) = (x - 2)q(x) + 14 Substituindo x = 1, temos: p(1) = -q(1) + 14 Como p(1) = 0 e q(1) = 4 + m + n, temos: 0 = -4 - m - n + 14 n = 10 - m Substituindo n na equação 3 + m + n = 0, temos: 3 + m + (10 - m) = 0 m = -7 Agora, podemos verificar quais alternativas estão corretas: (01) m + n = -3: -7 + (10 - (-7)) = 24, alternativa incorreta. (02) n = 2: 10 - (-7) = 17, alternativa incorreta. (04) m - n = 5: -7 - (10 - (-7)) = -24, alternativa incorreta. (08) mn = 1: (-7).(10 - (-7)) = -63, alternativa incorreta. (16) m = 1: -7 ≠ 1, alternativa incorreta. Portanto, a única alternativa correta é a (02), e a soma das alternativas corretas é 2. Resposta: 2.