Fuvest-SP Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estri...

Seja a progressão aritmética (PA) e a progressão geométrica (PG) com primeiro termo igual a 4 e terceiro termo igual a x. Sabemos que o terceiro termo da PA é 4 + 2d, onde d é a razão da PA. Também sabemos que o terceiro termo da PG é 4q², onde q é a razão da PG. Como os terceiros termos coincidem, temos: 4 + 2d = 4q² x = 4q³ Além disso, sabemos que o segundo termo da PA é maior que o segundo termo da PG em 2, ou seja: 4 + d = 4q + 2 Simplificando: d = 2q - 2 Substituindo d em 4 + 2d = 4q², temos: 4 + 4q - 8 = 4q² 4q² - 4q - 4 = 0 q² - q - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: q = (1 ± √5)/2 Como q é positivo, temos q = (1 + √5)/2. Substituindo q em d = 2q - 2, temos: d = 2(1 + √5)/2 - 2 d = √5 - 1 Substituindo q em x = 4q³, temos: x = 4(1 + √5)³/8 x = (1 + √5)³/2 x = 14 + 6√5 Portanto, o terceiro termo das progressões é 14 + 6√5, que corresponde à alternativa (c).