Fuvest-SP Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estri...

Vamos chamar de "r" a razão da progressão geométrica e "a" a razão da progressão aritmética. Sabemos que o primeiro termo de ambas é 4, então: - O terceiro termo da progressão aritmética é 4 + 2a - O terceiro termo da progressão geométrica é 4r² Sabemos que esses dois termos são iguais, então: 4 + 2a = 4r² Também sabemos que o segundo termo da progressão aritmética é maior que o segundo termo da progressão geométrica em 2, então: 4 + a = 4r + 2 Simplificando a segunda equação, temos: a = 4r - 2 Substituindo "a" na primeira equação, temos: 4 + 2(4r - 2) = 4r² 8r² - 8r - 4 = 0 Dividindo tudo por 4, temos: 2r² - 2r - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: r = (2 ± √6)/2 Como o terceiro termo é estritamente positivo, precisamos escolher a raiz positiva, então: r = (2 + √6)/2 Substituindo "r" na equação que encontramos para "a", temos: a = 4(2 + √6)/2 - 2 a = 2 + 2√6 Agora podemos encontrar o terceiro termo das progressões: - Terceiro termo da progressão aritmética: 4 + 2a = 4 + 4√6 + 2 = 6 + 4√6 - Terceiro termo da progressão geométrica: 4r² = 4(2 + √6)/2² = 2(2 + √6) = 4 + 2√6 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 18.