30. UERJ Considere as matrizes A e B: A = (aij) é quadrada de ordem n em que aij = 2i – j. O valor do determinante de sua matriz transposta é: a) 0...

Para encontrar o determinante da matriz transposta de A, podemos utilizar a propriedade de que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Assim, temos: |A^T| = |A| Substituindo aij por 2i - j, temos: |A| = |(aij)| = |(2i - j)| Para calcular o determinante de A, podemos utilizar o Teorema de Laplace, expandindo a matriz em relação à primeira linha: |A| = ∑ (-1)^(1+j) * a1j * M1j Onde M1j é o menor complementar do elemento a1j. Como a primeira linha de A é 2 0 0 ... 0, temos: |A| = (-1)^(1+1) * 2 * |(0 0 ... 0)| + (-1)^(1+2) * 0 * |(0 0 ... 0)| + (-1)^(1+3) * 0 * |(0 0 ... 0)| + ... + (-1)^(1+n) * 0 * |(0 0 ... 0)| Onde |(0 0 ... 0)| é o determinante da matriz A' de ordem n-1 obtida a partir de A eliminando a primeira linha e a coluna j. Como todas as entradas de A' são iguais a 2, temos: |(0 0 ... 0)| = 2^(n-1) Substituindo na expressão para |A|, temos: |A| = 2 * (-1)^(n+1) * 2^(n-1) = (-1)^(n+1) * 2^n Portanto, o valor do determinante de A é (-1)^(n+1) * 2^n. Como a matriz A é simétrica, temos: |A^T| = |A| = (-1)^(n+1) * 2^n Assim, a alternativa correta é a letra C) -16.