15. ITA-SP O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as fórmulas do volume e da média aritmética. Sabemos que o volume do cone é 128π m³, então podemos escrever: V = (1/3)πr²h Substituindo o valor do volume e sabendo que o raio da base é igual à média aritmética entre a altura e a geratriz, podemos escrever: 128π = (1/3)π[(h + g)/2]²h Simplificando a equação, temos: 384 = (h + g)²h Como o raio da base é igual à média aritmética entre a altura e a geratriz, podemos escrever: r = (h + g)/2 Substituindo o valor de r na equação acima, temos: 2r = h + g g = 2r - h Substituindo o valor de g na equação do volume, temos: 128π = (1/3)πr²h 384 = (h + 2r - h)²h 384 = (2r)²h h = 384/(4r²) h = 96/r² Substituindo o valor de h em g = 2r - h, temos: g = 2r - 96/r² Agora podemos substituir os valores de h e g na equação r = (h + g)/2 e resolver para r: r = (h + g)/2 r = (96/r² + 2r - 96/r²)/2 r = r - 48/r² + 48/r² r² = 48 r = 4√3 Agora podemos substituir o valor de r na equação de h e resolver para h: h = 96/r² h = 96/(4√3)² h = 8√3 Portanto, a resposta correta é a alternativa (a) 9 e 8.