5. A variância de um conjunto de dados x1, . . . , xn é dada por σ2 = 1 n n∑ i=1 (xi − x)2, onde x é a média dos valores de x. (a) Mostre que...

Para demonstrar que a variação pode ser calculada como σ2 = 1/n * ∑(xi^2) - x^2, podemos começar com a fórmula da variação original: σ2 = 1/n * ∑(xi - x)2 Expandindo o quadrado, temos: σ2 = 1/n * ∑(xi^2 - 2xi*x + x^2) Agora, podemos separar a soma em duas partes: σ2 = 1/n * (∑xi^2 - 2x∑xi + ∑x^2) Observe que ∑xi é igual a nx, já que a soma de todos os xi é igual a n vezes a média x. Podemos substituir isso na equação: σ2 = 1/n * (∑xi^2 - 2nx^2 + ∑x^2) Agora, podemos reorganizar a equação: σ2 = 1/n * (∑xi^2) - 2x^2 + (∑x^2)/n Observe que (∑x^2)/n é igual a x^2, já que a soma de todos os x^2 é igual a n vezes a média dos quadrados x^2 dividido por n. Podemos substituir isso na equação: σ2 = 1/n * (∑xi^2) - x^2 Portanto, a variação também pode ser calculada como σ2 = 1/n * ∑(xi^2) - x^2.