Marque a alternativa que apresenta a integral ∭ V e ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 d V em coordenadas cilíndricas, onde V é o sólido limitado inferiorment...

A alternativa correta é: 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 − x 2 − y 2 ∫ √ x 2 + y 2 ρ e ρ 2 d z d ρ d θ Para resolver essa integral em coordenadas cilíndricas, é necessário primeiro determinar os limites de integração para cada variável. O sólido é limitado inferiormente pelo cone z² = x² + y² e superiormente pelo paraboloide z = 4 - x² - y². Em coordenadas cilíndricas, temos: x = ρcosθ y = ρsenθ z = z Substituindo essas expressões na equação do cone e do paraboloide, temos: z² = ρ² z = 4 - ρ² Assim, os limites de integração são: 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ρ ≤ 2 ρ² ≤ z ≤ 4 - ρ² Substituindo esses limites na integral dada, temos: 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 − ρ 2 ∫ √ ρ 2 ρ e ρ 2 d z d ρ d θ Resolvendo a integral em relação a z, temos: 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 − ρ 2 ρ ( 4 − ρ 2 − ρ 2 ) e ρ 2 d ρ d θ Simplificando a expressão, temos: 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 − ρ 2 ( 4 ρ e ρ 2 − 2 ρ 3 e ρ 2 ) d ρ d θ Resolvendo a integral em relação a ρ, temos: 2 π ∫ 0 2 [ − e ρ 2 ( 2 ρ 2 + 1 ) ] 0 4 d θ Substituindo os limites de integração, temos: 2 π ∫ 0 2 ( 1 − e 16 ) d θ Resolvendo a integral em relação a θ, temos: 2 π ( 2 − e 16 ) Portanto, a alternativa correta é: 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 − x 2 − y 2 ∫ √ x 2 + y 2 ρ e ρ 2 d z d ρ d θ.