O Teorema de Green pode ser entendido como a contrapartida do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais duplas. Considere C uma fronteira semia...

O Teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para aplicá-lo, é necessário calcular o rotacional do campo vetorial dado pela expressão (y^2, 3xy). No caso da fronteira semianular C descrita, podemos parametrizá-la como x = r cos(t), y = r sin(t), onde t varia de 0 a pi e de pi a 2pi, e r varia de 1 a 2. Calculando o rotacional do campo vetorial, obtemos: rot(y^2, 3xy) = (0, 0, 2x - 3y) Assim, podemos aplicar o Teorema de Green e escrever a integral como: integral dupla sobre R de (2x - 3y) dA onde R é a região limitada por C. Para calcular essa integral, podemos usar coordenadas polares: integral de 0 a pi integral de 1 a 2 de (2r cos(t) - 3r sin(t)) r dr dt Resolvendo as integrais, obtemos: integral de 0 a pi de (-5/2) cos(t) dt = 5/2 Portanto, a resposta correta é a letra A) 1/2.