Para demonstrar que existem infinitos números primos da forma 4n - 1, podemos utilizar o método de Euclides. Suponha que existem apenas finitos números primos da forma 4n - 1, ou seja, p1, p2, ..., pn. Podemos definir um número natural N = 4p1p2...pn - 1. Observe que N é da forma 4n - 1, pois todos os pi são da forma 4n - 1 e o produto de números da forma 4n - 1 também é da forma 4n - 1. Além disso, nenhum dos primos pi divide N, pois se algum pi dividisse N, então pi também dividiria o resto da divisão de N por pi, que é 1. Portanto, N é um número primo da forma 4n - 1 que não está na lista p1, p2, ..., pn, o que contradiz a suposição inicial de que existem apenas finitos números primos da forma 4n - 1. Assim, concluímos que existem infinitos números primos da forma 4n - 1.
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Métodos Quantitativos Matemáticos
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