Estimação de parâmetros

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ESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Estimação de parâmetros
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Expressar parâmetros populacionais.
 � Diferenciar estimativas tendenciosas de não tendenciosas.
 � Identificar as consequências dos estimadores.
Introdução
Neste capítulo, você identificará o que são parâmetros e estimadores. 
Além disso, aprenderá a identificar o que são estimadores tendenciosos e 
estimadores eficientes. Também, desenvolverá estratégias para identificar 
quais deles utilizar.
Como aplicação da teoria de probabilidade aos estimadores, você 
aprenderá a calcular intervalos de confiança para a média e a proporção 
que possibilitam estimar um intervalo de valores em que esteja contido 
o verdadeiro parâmetro populacional, com base em uma amostra. 
Parâmetros populacionais
Parâmetros são medidas numéricas calculadas com base nos dados de uma 
população. Podemos calcular alguns parâmetros, como a média populacional 
(μ), o desvio-padrão populacional (𝜎) e a proporção populacional (π). Observe 
que os parâmetros são representados por letras gregas.
μ =
∑ Xi
N média populacional
onde: 
Xi: cada um dos N elementos da população;
N: tamanho da população.
σ =
∑(Xi – μ)2
N
 desvio-padrão populacional
onde: 
Xi: cada um dos N elementos da população;
μ: média populacional;
N: tamanho da população.
Parâmetros nem sempre são fáceis de serem calculados — seja porque nem 
sempre temos acesso a todos os elementos de uma população, seja porque 
pode ser muito oneroso coletar dados de uma população inteira, ou, ainda, 
porque não temos tempo para investigar todos os dados de uma população. 
Por esses e outros motivos, acabamos, muitas vezes, optando por coletar 
dados relativos às amostras derivadas de uma população de interesse. Quando 
calculamos as medidas numéricas de uma amostra, teremos estimativas, 
também chamadas de estatísticas, para os parâmetros populacionais. Na 
Figura 1, a seguir, há uma representação desses estimadores amostrais de 
parâmetros populacionais.
Figura 1. Estimadores amostrais de parâmetros populacionais.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 293).
Amostra
Inferência
Parâmetros
populacionais
μ
σ
π
Estimadores
amostrais
x–
s
p
Estimação de parâmetros2
Cada estimativa será o valor particular daquela amostra para estimar o 
verdadeiro valor do parâmetro. Se coletarmos amostras diferentes de uma 
mesma população, os valores do estimador poderão mudar aleatoriamente a 
cada amostra coletada. Então, a distribuição dessa variável (estimador amostral) 
é o que chamamos de distribuição de probabilidades amostral. 
O valor da estimativa da média, por exemplo, será específico para cada 
amostra, mas a distribuição de probabilidade que descreve essa aleatoriedade 
com os resultados das diferentes amostras é a distribuição amostral da média 
da amostra. Nessa distribuição, teremos todos os resultados prováveis da 
estimativa da média em um intervalo de valores que a estimativa ocorre e 
onde estará o verdadeiro parâmetro populacional. A distribuição amostral 
seguirá a mesma distribuição dos dados populacionais. Se estes seguem uma 
distribuição normal, consequentemente, os dados amostrais provenientes dessa 
população também seguirão uma distribuição de probabilidades normais.
A partir dessa distribuição de probabilidades amostrais (podendo ser 
diferente para cada um dos parâmetros) é que podermos tomar decisões sobre 
os parâmetros populacionais com base em estimativas amostrais.
Segundo Doane e Seward (2014), um estimador é uma estatística derivada 
de uma amostra para inferir o valor de um parâmetro populacional. Já uma 
estimativa é o valor do estimador em uma amostra particular.
Quando calculamos o valor de apenas uma amostra e estimamos os valores 
dos parâmetros por essa medida amostral, teremos uma estimativa por ponto. 
Claramente, nem sempre o valor calculado para a média dessa determi-
nada amostra (ou qualquer outro estimador) acertará no alvo o valor real da 
população. Sendo assim, para estimativas de parâmetros, podemos calcular 
intervalos com alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro 
populacional.
Podemos, também, calcular o erro cometido com esse estimador e, ainda, 
o tamanho mínimo para a amostra dessa estimativa.
Vale lembrar que o erro e a confiança fixados no cálculo para o tamanho de amostra 
só serão válidos se a amostra for probabilística. 
Qualquer amostra só poderá resultar em um bom estimador caso ela seja coletada 
de forma aleatória. Jamais podemos fazer uso de amostras não probabilísticas e ten-
denciosas para estimarmos parâmetros.
3Estimação de parâmetros
Estimativas tendenciosas e não tendenciosas
Mas o que é uma estimativa tendenciosa? Chamamos uma estimativa de ten-
denciosa, ou estimador viciado e estimador enviesado, quando esta subestimar 
ou superestimar o valor do parâmetro. 
Vício é a diferença entre a média da estatística (estimador) e o verdadeiro 
valor do parâmetro populacional. A Figura 2 ilustra a diferença entre um 
estimador tendencioso e não tendencioso.
Figura 2. Ilustração de estimadores tendenciosos e não tendenciosos.
Estimador não tendencioso Estimador tendencioso
Segundo Doane e Seward (2014), a média amostral (x–) e a proporção 
amostral (p) são estimadores não viciados da μ e da π, respectivamente. Mas 
podemos encontrar estimadores viciados quando consideramos o desvio-padrão 
amostral e o desvio-padrão populacional.
μ =
∑Xi
N média populacional
x– =
∑xi
n média amostral
� = X
N proporção populacional
p = x
n proporção amostral
Estimação de parâmetros4
σ =
∑(Xi – μ)2
N
desvio-padrão populacional
s =
∑(xi – x–)2
n – 1
desvio-padrão amostral
Estimativas eficientes
Um estimador é dito eficiente frente aos demais possíveis dentre as amostras 
oriundas da mesma população. Será aquele que tiver a menor variabilidade. 
Ou seja, se dois estimadores tiverem a mesma média, o estimador mais efi-
ciente será aquele com a menor variância. O outro estimador será 
considerado ineficiente, conforme ilustrado na Figura 3.
Figura 3. Ilustração de estimadores eficientes e não eficientes, ambos não viciados.
Estimador e�ciente Estimador não e�ciente
Como existe essa variabilidade, podemos, então, estimar o erro que estamos 
cometendo com essa estimativa. Quando estamos estimando a média popula-
cional (μ) pela média amostral (x–), cometemos o erro amostral: a probabilidade 
é de 1 – α de que a estimativa vá diferir para mais ou para menos do valor 
populacional por, no máximo, um erro de:
E = zα/2 ∙ 
σ
√n
5Estimação de parâmetros
onde:
E: erro máximo de estimativa;
𝜎: desvio-padrão populacional;
n: tamanho da amostra;
zα/2: valor da tabela normal padrão.
Na Figura 4, pode ser visualizada a distribuição amostral da média.
Figura 4. Distribuição amostral da média.
Fonte: Freund (2006, p. 272).
1 – α
α/2 α/2
x–
μ zα/2 ∙ 
σ
√n
No Quadro 1, a seguir, apresentamos os valores para os principais níveis de significância.
1 – α α/2 zα/2
1 – 0,1 = 0,90 = 90% 0,05 1,645
1 – 0,05 = 0,95 = 95% 0,025 1,960
1 – 0,01 = 0,99 = 99% 0,005 2,575
Quadro 1. Valores da tabela normal para os principais níveis de significância
Estimação de parâmetros6
Uma financeira coletou uma amostra aleatória de 100 pessoas para estimar o valor 
médio de endividamento de seus clientes. Com base em pesquisas anteriores, sabe-se 
que o desvio-padrão populacional é de R$ 630,00 (σ = 630,00). Com uma probabilidade 
de 95%, qual seria o erro máximo para a estimativa?
E = 1,960 · = 123,48630
√100
Com uma confiança de 95%, podemos afirmar que o erro máximo dessa estimativa 
é de 123,48.
Precisamos observar que nem sempre sabemos o verdadeiro valor do desvio-padrão 
populacional. Aliás, muito raramente teremos esse valor, pois, se tivéssemos facilmente 
o desvio-padrão populacional, já saberíamos o valor da média populacional.
Assim sendo, é admissível utilizarmos o desvio-padrão amostral comoestimativa 
do desvio-padrão populacional, sempre que tivermos um tamanho da amostra igual 
ou superior a 30.
Consequências dos estimadores
Como consequências das propriedades dos estimadores, quando temos uma 
distribuição de probabilidades para os possíveis resultados de amostras alea-
tórias, podemos calcular intervalos de confiança que contenham o verdadeiro 
valor do parâmetro populacional e uma confiança associada a esse intervalo. 
Podemos, também, calcular tamanhos mínimos de amostras para que os dados 
amostrais sejam representativos de toda uma população.
A distribuição de probabilidades associada aos dados da nossa população 
é que nos dará a confiança necessária tanto para os intervalos de confiança 
quanto para o tamanho mínimo de amostras. Leva-se em consideração o 
teorema do limite central.
Intervalos de confiança 
Podemos calcular um intervalo de variação para a média amostral, que terá uma 
probabilidade definida de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
Isso é possível porque temos uma distribuição associada aos dados po-
pulacionais e amostrais. Utilizaremos a distribuição normal para esses in-
tervalos e teremos uma confiança fixada de acordo com essa distribuição de 
probabilidades.
7Estimação de parâmetros
Existem valores que são mais comuns para o cálculo dos intervalos de 
confiança: 90%, 95% e 99%. Os valores das probabilidades associadas a esses 
níveis de confiança são os seguintes:
90% de confiança → z0,05 = 1,645
95% de confiança → z0,025 = 1,960
99% de confiança → z0,005 = 2,575
O intervalo de confiança para estimar uma média é descrito a seguir:
x– ± zα/2 ∙ 
σ
√n
 com o desvio-padrão populacional conhecido
x– ± tα/2; n – 1 ∙ 
s
√n
 com o desvio-padrão populacional desconhecido
Observe que, ao invés de utilizarmos a distribuição normal para o intervalo 
de confiança com o desvio-padrão desconhecido, tomamos a distribuição t-stu-
dent, observando o α/2 e n–1 graus de liberdade. Vale ressaltar que, para n ≥ 30, 
os valores da distribuição t e da distribuição normal igualam-se. Observe a 
Figura 5, a seguir.
Figura 5. Comparação distribuição t e distribuição normal.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 306).
A distribuição t tem o mesmo formato da distribuição normal, mas, para n 
menor do que 30, existe uma pequena diferença no formato, ocasionada pelo 
tamanho da amostra. Veja a tabela da Figura 6.
Estimação de parâmetros8
Figura 6. Distribuição t-student.
Para encontrar o valor tabelado, cruzamos a coluna de alfa escolhido com 
a linha dos graus de liberdade. Nesse caso do número de graus de liberdade, 
precisamos fazer n–1. 
9Estimação de parâmetros
Suponha que a financeira coletou uma amostra de 100 clientes e questionou sobre o 
valor de endividamento deles, obtendo como resultado uma média amostral de R$ 
2.350,00 e um desvio-padrão amostral de R$ 590,00. Obtenha o intervalo de confiança 
de 95% para a média.
x– = 2350,00
s = 590,00
n = 100
t0,025;99 = 1,960
x– ± tα/2
;n – 1 · = 2350 ± 1,960 ·
2350 ± 115,64
[2234,36; 2465,64]
s
√n
590
√100
Com 95% de confiança, a verdadeira média populacional para o valor médio de 
endividamento estará entre R$ 2.234,36 e R$ 2.465,64.
De acordo com o intervalo, podemos calcular o tamanho mínimo de amostra 
para quando queremos estimar a média populacional, isolando o n na equação 
do erro máximo amostral. Esse valor nos fornecerá um tamanho de amostra 
mínimo para que a amostra seja representativa da população, caso coletada 
de forma aleatória.
n =
zα/2 ∙ σ
E( )2
Por exemplo, qual seria o tamanho mínimo de amostra com uma confiança 
de 95%, no caso de uma pesquisa com consumidores para investigar o valor 
gasto com presentes no dia dos namorados. Sabe-se que o desvio-padrão 
populacional da pesquisa no ano anterior foi de R$ 65,00. Os pesquisadores 
querem errar, no máximo, em R$ 10,00.
Estimação de parâmetros10
z0,025 = 1,96
σ = 65,00
E = 10,00
n =
zα/2 ∙ σ
E( ) ( )2 2
= = 162,3 = 1631,96 · 65
10
Vale ressaltar que, no caso do tamanho mínimo de amostra, sempre se 
arredonda para cima, independentemente de regras de arredondamento.
Podemos calcular, também, um intervalo de variação para a proporção 
amostral. A teoria é semelhante à empregada no intervalo de confiança para 
a média. Os cálculos são realizados de acordo com a equação a seguir.
p ± zα/2 ·
p ∙ (1 – p)
n
onde:
p: proporção amostral
n: tamanho da amostra
Zα/2
: valor tabela normal padrão
Assim como podemos calcular o tamanho mínimo de amostra para estimar 
uma média, também podemos calcular o tamanho mínimo de amostra para 
estimar uma proporção. A fórmula do tamanho mínimo de amostra também 
é derivada da fórmula do erro máximo amostral para a proporção.
Ainda temos o intervalo de variação para o desvio-padrão de uma amostra 
retirada de uma população que segue uma distribuição normal.
n =
zα/2
2 ∙ p(1 – p)
E2
Quando não conhecemos o verdadeiro valor da proporção populacional, 
utilizamos o p = 0,5. Assim, podemos superestimar o tamanho da amostra, 
já que a proporção não é conhecida.
11Estimação de parâmetros
Suponha que você deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com determinado 
produto da sua empresa. Deseja-se cometer um erro máximo de estimação de 3%, 
com uma confiança de 90%. Qual seria o tamanho mínimo de amostra para estimar 
essa proporção?
zα
/2
 = 1,645
p = 0,5 pois o p é desconhecido
E = 0,03 precisamos tirar do percentual
n =
zα/2
2 · p(1 – p)
E2 =
1,6452 · 0,5 · (1 – 0,5)
0,032
= 752
 
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: AMGH; Bookman, 2014. 840 p.
FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2006. 536 p.
Leitura recomendada
SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 600 p. 
(Coleção Schaum).
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