Encontrar a solução particular da equação y'' + 2y' – 3y = x2 – 3x – 10. Resolvendo a parte homogênea associada, encontra-se a solução complementar...

Para encontrar a solução particular da equação y'' + 2y' – 3y = x² – 3x – 10, primeiro é necessário encontrar a solução complementar, que é a solução da equação homogênea associada y'' + 2y' – 3y = 0. Resolvendo a equação homogênea associada, temos: r² + 2r - 3 = 0 As raízes dessa equação são r = -3 e r = 1. Portanto, a solução complementar é: y_c(x) = c1*e^(-3x) + c2*e^(x) Agora, para encontrar a solução particular, supõe-se que ela tenha a mesma forma da função f(x), que é um polinômio de segundo grau. Então, a solução particular é da forma: y_p(x) = ax² + bx + c Derivando duas vezes a solução particular, temos: y_p''(x) + 2y_p'(x) - 3y_p(x) = 2a - 2a + 2b - 6ax - 3ax² Igualando essa expressão a x² - 3x - 10, temos: -3a = 1 2b - 6a = -3 2a - 3b + c = -10 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos a = -1/3, b = -1/3 e c = -8/3. Portanto, a solução particular é: y_p(x) = (-1/3)x² - (1/3)x - (8/3) A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular: y(x) = y_c(x) + y_p(x) = c1*e^(-3x) + c2*e^(x) - (1/3)x² - (1/3)x - (8/3)