Encontre a solução geral para y(4) – y = 0, satisfazendo as condições iniciais: A função y tem forma eax, com equação auxiliar: As raízes da equaçã...

A solução geral para a equação diferencial y(4) - y = 0, com a função y na forma eax e raízes r1, r2, r3 e r4 da equação auxiliar r^4 - 1 = 0, é dada por: y(x) = c1e^x + c2e^-x + c3cos(x) + c4sen(x) Onde c1, c2, c3 e c4 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Aplicando as condições iniciais y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -1 e y'''(0) = 0, temos o sistema de equações: c1 + c2 + c3 = 1 c1 - c2 = 0 c3 - c4 = -1 c4 = 0 Resolvendo o sistema, encontramos c1 = 1/2, c2 = 1/2, c3 = 1/2 e c4 = 0. Substituindo os valores de c1, c2, c3 e c4 na solução geral, temos: y(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x + (1/2)cos(x) Portanto, a solução geral para a equação diferencial y(4) - y = 0, satisfazendo as condições iniciais y(0) = 1, y'(0) = 0, y''(0) = -1 e y'''(0) = 0, é y(x) = (1/2)e^x + (1/2)e^-x + (1/2)cos(x).