Em um triângulo ABC, o lado AB mede 6 cm, o lado BC mede 9 cm, AB = 3 AM, BC = 3 CN e o segmento MN é paralelo ao lado AC. Sabendo que o incentro é...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade de que o incentro é equidistante aos lados do triângulo. Seja I o incentro do triângulo ABC e seja P a interseção entre a bissetriz do ângulo A e o lado BC. Temos que AP é a bissetriz do ângulo A e, portanto, divide o lado BC em dois segmentos iguais, ou seja, BP = PC. Como AB = 6 e AM = 3, temos que BM = AB - AM = 6 - 3 = 3. Como BP = PC, temos que BM = MC = 3. Seja Q a interseção entre a bissetriz do ângulo C e o lado AB. Temos que CQ é a bissetriz do ângulo C e, portanto, divide o lado AB em dois segmentos iguais, ou seja, AQ = QB. Como BC = 9 e CN = 3, temos que BN = BC - CN = 9 - 3 = 6. Como AQ = QB, temos que AN = NB = 3. Como o segmento MN é paralelo ao lado AC, temos que os triângulos AMN e ABC são semelhantes. Portanto, temos que: MN/AC = AN/AB Substituindo os valores que encontramos, temos: MN/15 = 3/6 MN = 15/2 Portanto, a medida do segmento MN é 7,5 cm, que corresponde à alternativa c).