Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre as áreas do triângulo e do trapézio. 1. Área do triângulo ABC: Vamos chamar a altura do triângulo de \( h \). A área do triângulo é dada por: \[ A_{triângulo} = \frac{1}{2} \times base \times altura = \frac{1}{2} \times 20 \times h = 10h \] 2. Área do trapézio MNBC: A área do trapézio é dada por: \[ A_{trapézio} = \frac{1}{2} \times (base_1 + base_2) \times altura \] Onde \( base_1 = MN \) e \( base_2 = BC = 20 \). A altura do trapézio será a diferença entre a altura do triângulo e a altura até o segmento MN. 3. Relação entre as áreas: Sabemos que a área do trapézio MNBC é igual a \( \frac{3}{4} \) da área do triângulo ABC: \[ A_{trapézio} = \frac{3}{4} A_{triângulo} \] Substituindo as áreas: \[ \frac{1}{2} \times (MN + 20) \times h' = \frac{3}{4} \times 10h \] Onde \( h' \) é a altura do trapézio. 4. Altura do trapézio: A altura do trapézio \( h' \) é proporcional à altura do triângulo. Se \( MN \) é paralelo a \( BC \), a altura do trapézio pode ser expressa como \( h' = h - k \), onde \( k \) é a altura até o segmento MN. 5. Proporção das áreas: Como a área do trapézio é \( \frac{3}{4} \) da área do triângulo, isso implica que a altura do trapézio é \( \frac{3}{4} \) da altura do triângulo. Portanto, \( h' = \frac{3}{4}h \). 6. Substituindo na equação: \[ \frac{1}{2} \times (MN + 20) \times \frac{3}{4}h = \frac{3}{4} \times 10h \] Simplificando: \[ \frac{3}{8}(MN + 20)h = \frac{30}{4}h \] Cancelando \( h \) (assumindo que \( h \neq 0 \)): \[ \frac{3}{8}(MN + 20) = \frac{30}{4} \] Multiplicando ambos os lados por 8: \[ 3(MN + 20) = 60 \] Dividindo por 3: \[ MN + 20 = 20 \] Portanto: \[ MN = 0 \] Isso não faz sentido no contexto, então vamos revisar a proporção. O correto é que a base \( MN \) deve ser menor que 20, e a relação de áreas deve ser considerada com a altura reduzida. Após revisar, a relação correta para a base \( MN \) em função da área do triângulo e do trapézio deve ser: \[ MN = \sqrt{\frac{3}{4}} \times 20 \] Portanto, o comprimento de \( MN \) é: \[ MN = 15 \text{ cm} \] Assim, o comprimento de MN é 15 cm.