Determine o valor de
1
∫
0

2
∫
0

(
2
y
x
+
3
y
x
2
)

d
x
d
y

1

8

4

6

3

Question

Determine o valor de  
1
∫
0
  
2
∫
0
 
(
2
y
x
+
3
y
x
2
)
 
d
x
d
y

1

8

4

6

3

Ed · Answer

Para resolver a integral dupla $ \int_0^1 \int_0^2 (2yx + 3yx^2) \, dx \, dy $, vamos calcular passo a passo.

1. **Calcular a integral interna** em relação a $ x $:
   $$
   \int_0^2 (2yx + 3yx^2) \, dx
   $$

- A integral de $ 2yx $ em relação a $ x $ é $ yx^2 $ (avaliada de 0 a 2):
     $$
     y(2^2) - y(0^2) = 4y
     $$

- A integral de $ 3yx^2 $ em relação a $ x $ é $ yx^3 $ (avaliada de 0 a 2):
     $$
     y(2^3) - y(0^3) = 8y
     $$

- Portanto, a integral interna resulta em:
     $$
     4y + 8y = 12y
     $$

2. **Calcular a integral externa** em relação a $ y $:
   $$
   \int_0^1 12y \, dy
   $$

- A integral de $ 12y $ em relação a $ y $ é $ 6y^2 $ (avaliada de 0 a 1):
     $$
     6(1^2) - 6(0^2) = 6
     $$

Portanto, o valor da integral é $ 6 $.

A resposta correta é: **6**.

Ed · Answer

Para resolver essa integral dupla, podemos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

∫0² ∫0^(2y) [(2y/x) + (3y/x²)] dx dy

Integrando em relação a x, temos:

∫0² [(2y ln(x)) + (-3y/x)] |_0^(2y) dy

∫0² [(4y ln(2)) + (3y/y)] dy

∫0² [(4y ln(2)) + 3] dy

[(2y² ln(2)) + (3y)] |_0²

(8 ln(2)) + 6

Portanto, a resposta é 8 ln(2) + 6. A alternativa correta é a letra D).

Respostas