O processo de encontrar a área abaixo de uma curva particionando a região em retângulos é chamado soma de Riemann, em homenagem ao matemático alemã...

Para calcular a aproximação da integral integral subscript 0 superscript straight pi divided by 2 end superscripts e n left parenthesis 2 x right parenthesis d x utilizando as somas superiores com quatro retângulos, podemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o valor de delta x, que é a largura de cada retângulo. Nesse caso, temos que dividir o intervalo [0, pi/2] em quatro partes iguais, então delta x = (pi/2 - 0)/4 = pi/8. 2. Calcular o valor de x_i para cada retângulo. Como estamos utilizando as somas superiores, escolhemos o ponto mais alto de cada subintervalo. Assim, temos: x_1 = delta x = pi/8 x_2 = 2 delta x = pi/4 x_3 = 3 delta x = 3 pi/8 x_4 = 4 delta x = pi/2 3. Calcular o valor de f(x_i) para cada x_i. Nesse caso, temos f(x) = n (2x), então: f(x_1) = n (2 pi/8) = n pi/4 f(x_2) = n (2 pi/4) = n pi/2 f(x_3) = n (2 3pi/8) = 3n pi/4 f(x_4) = n (2 pi/2) = n pi 4. Calcular a área de cada retângulo. Como a altura de cada retângulo é dada por f(x_i) e a largura é delta x, temos: A_1 = f(x_1) delta x = n pi/32 A_2 = f(x_2) delta x = n pi/16 A_3 = f(x_3) delta x = 3n pi/32 A_4 = f(x_4) delta x = n pi/8 5. Somar as áreas dos quatro retângulos para obter a aproximação da integral: S_4 = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = n pi/32 + n pi/16 + 3n pi/32 + n pi/8 = 7n pi/32 Portanto, a aproximação da integral utilizando as somas superiores com quatro retângulos é 7n pi/32. Se quisermos uma aproximação com três casas decimais, precisamos escolher um valor de n que nos dê um resultado com erro menor que 0,001. Como a fórmula do erro para as somas superiores é E_n <= (b-a)^3 / (12n^2) max |f''(x)|, podemos usar a segunda derivada de f(x) = n (2x), que é f''(x) = 0, e simplificar a fórmula para E_n <= (b-a)^3 / (12n^2). Substituindo os valores, temos: E_n <= (pi/2 - 0)^3 / (12n^2) = pi^3 / (96n^2) Para obter um erro menor que 0,001, precisamos ter: pi^3 / (96n^2) <= 0,001 n^2 >= pi^3 / (96000) n >= sqrt(pi^3 / 96000) ~= 5,5 Portanto, podemos escolher n = 6 para obter uma aproximação com três casas decimais: S_4 <= 7n pi/32 = 7*6*pi/32 = 21pi/16 ~= 4,139 Note que essa é uma aproximação superior, ou seja, o valor real da integral é menor ou igual a 4,139.